Math：向量的點乘與叉乘

向量的內積（點乘：$\cdot$）

向量的內積又稱爲點乘，設兩個向量爲$a,b\in R^3$ ，則這兩個向量的點乘結果爲：對應分量的乘積和，計算結果爲一個數值。如下爲兩向量的點乘的計算過程：

$a\cdot b=a^Tb=\sum_{i=1}^{3}a_ib_i=|a||b|cos\left \langle a,b \right \rangle$

其中，$|a|=\sqrt{\sum_{i=1}^{3}a_i^2},|b|=\sqrt{\sum_{i=1}^{3}b_i^2}$分別爲向量$a,b$的模或長度，$\left \langle a,b \right \rangle$爲兩向量的夾角。形式$|a||b|cos\left \langle a,b \right \rangle$表明，當兩個向量的夾角爲90度時（$cos90^{\circ}=0$），兩向量的點乘結果爲0，此時兩向量互相垂直，或者也可以稱爲兩向量正交（ 0 向量和任何向量都正交）。從表達式$|a||b|cos\left \langle a,b \right \rangle$中，還可以發現$|a|cos\left \langle a,b \right \rangle$就是 a 在 b 上的投影，那麼點乘就是a 在 b 上的投影乘以 b 的長度，可以理解爲用來體現兩個向量平行程度的大小，當兩向量垂直時，平行度最小，值爲0。內積可以描述向量間的投影關係。

向量的外積（叉乘：$\times$）

向量的外積又稱叉乘，設兩個向量爲$a= (a_1a_2,a_3)^T,b=(b_1,b_2,b_3)^T$，則兩向量的叉乘結果爲：$c = (a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^T$，計算結果還是個向量。如下爲兩向量的叉乘的計算過程：

$a \times b=\begin{Vmatrix} i & j & k\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{Vmatrix} =\begin{bmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2\\ a_3 & 0 & -a_1\\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}b \equiv a^{\wedge}b$

其中，引入了^符號，並將^記成一個反對稱符號。如此，兩向量間的叉乘$a\times b$可寫成矩陣$a^{\wedge}$與向量$b$的乘法$a^{\wedge}b$，即把叉乘變成了線性運算（$a^{\wedge}$表示爲$a$對應的反對稱矩陣）。向量叉乘的的結果是一個向量，大小爲$|a||b|sin\left \langle a,b \right \rangle$，類似的，$|a|sin\left \langle a,b \right \rangle$就是 $a$ 在 $b$ 垂直方向上的分量，所以兩向量的叉乘可以表示兩向量的垂直程度，當兩個向量平行時（$sin90^{\circ}=0$），兩向量的叉乘結果爲0 ，也就是垂直度最小。向量叉乘的一個重要性質：假設 $a$ 和 $b$ 的叉乘結果爲 $c$，則 $c$ 向量分別和 $a$ ，$b$ 正交，$c$ 的方向可以由右手守則來判定。用右手食指指向 $a$，中指指向 $b$，此時大拇指的方向就是 $c$ 的方向。