排列組合問題探索

這裏，主要是對經典的排列組合問題進行了總結，並歸納瞭解決這些問題的方法。解決這一類問題非常重要的一點是：要會靈活變通，有些新問題貌似沒見過，但其實就是換了個馬甲。

一、優限法

即 優先法，優先考慮對位置有要求的元素，再考慮餘下的元素。

【例】
A、B、C、D、E五個人排隊，要求A必須站在隊首或隊尾，問多少種排列方式？

思路：
先安排A，有$A_{2}^{2}$種情況，剩下的4個元素有$A_{4}^{4}$中排列方式，由分步原理，共有
$A_{2}^{1}A_{4}^{4}=48$
種情況。

二、捆綁法

捆綁法就是把要求相鄰的元素放在一起，當成一個大元素考慮，相當於在原來的基礎上消滅了相鄰的元素，新加了一個元素，同時注意：大元素內部可能也要考慮順序，考題目要求。

【例】
A、B、C、D、E五個人排隊，要求A和E必須相鄰，問有多少種排列方式？

思路：
A和E相鄰，我們可以把A和E捆綁在一起，當成一個元素，注意：A和E是不同的個體，也有順序之分，有$A_{2}^{2}$種情況，然後對新的組成進行排列，有$A_{4}^{4}$中情況，由分步原理，共有，
$A_{2}^{2}A_{4}^{4}=48$
種情況。

三、插空法

這種情況和第二種正好相反，要求某幾個元素不能相鄰。我們可以先把其餘的元素進行排列組合，然後再把不能相鄰的元素插到排列好的元素之間的空隙之中。

【例】
A、B、C、D、E五個人排隊，要求A和B不能站在一起，問有多少種排列方式？

思路：
先對沒有要求的元素進行排隊，有$A_{3}^{3}$種情況，排列好的元素之間形成了$A_{4}^{2}$種情況，所以，共有，
$A_{3}^{3}A_{4}^{2}=72$
種情況。

四、間接法

其實就是在找互斥（對立）事件，原問題看起來可能很複雜，要討論的情況很多。但是其互斥事件相對簡單簡單一些。然後用總的可能情況減去互斥的情況。

【例】
A、B、C、D、E五個人排隊，要求A和B必須有一個排在前兩排的位置，問有多少種排列方式？

思路：
如果按照題目要求直接來做的話，需要討論A排在前兩排，或B排在前兩排，或A和B同時排在前兩排三種情況，比較繁瑣。這裏我們可以考慮其對立事件，即A和B都沒有排在前兩排的情況。那麼，我們可以先對沒有約束的元素進行排序，有$A_{3}^{3}$種情況，然後對A排序，有$A_{2}^{1}$種組合，對B排序，有$A_{3}^{1}$種組合。不考慮約束，共有$A_{5}^{5}$種組合，所以，滿足條件的排列有，
$A_{5}^{5}-A_{3}^{3}A_{2}^{1}A_{3}^{1}=120-36=84$
種情況。

五、實戰

拿了一個網易的面試題練練手，看看大部分的題不是那麼中規中矩的

【例】

從數字集合{1,2,3,4,… ,20}中選出4個數字的子集，如果不允許兩個相連的數字出現在同一集合中，那麼能夠形成多少個這種子集？

思路：
看起來好像和前面的方法沒有關聯，其實是有的。從20個數字中挑選出4個不相鄰的數字，其實和這個問題是一樣的：“將4本書添加到16本書裏，有多少種添加方式？”，16本書，共產生17個間隙，選擇4個間隙，共有
$C_{17}^{4}=2380$
種情況。
不是$A_{17}^{4}$是因爲集合內的元素沒有先後順序。

參考資料：
1.網易數據分析面試題：
https://www.nowcoder.com/questionTerminal/dd21a5b395a143ea8d732bfc98ba41bc