排列组合问题探索

这里，主要是对经典的排列组合问题进行了总结，并归纳了解决这些问题的方法。解决这一类问题非常重要的一点是：要会灵活变通，有些新问题貌似没见过，但其实就是换了个马甲。

一、优限法

即 优先法，优先考虑对位置有要求的元素，再考虑余下的元素。

【例】
A、B、C、D、E五个人排队，要求A必须站在队首或队尾，问多少种排列方式？

思路：
先安排A，有$A_{2}^{2}$种情况，剩下的4个元素有$A_{4}^{4}$中排列方式，由分步原理，共有
$A_{2}^{1}A_{4}^{4}=48$
种情况。

二、捆绑法

捆绑法就是把要求相邻的元素放在一起，当成一个大元素考虑，相当于在原来的基础上消灭了相邻的元素，新加了一个元素，同时注意：大元素内部可能也要考虑顺序，考题目要求。

【例】
A、B、C、D、E五个人排队，要求A和E必须相邻，问有多少种排列方式？

思路：
A和E相邻，我们可以把A和E捆绑在一起，当成一个元素，注意：A和E是不同的个体，也有顺序之分，有$A_{2}^{2}$种情况，然后对新的组成进行排列，有$A_{4}^{4}$中情况，由分步原理，共有，
$A_{2}^{2}A_{4}^{4}=48$
种情况。

三、插空法

这种情况和第二种正好相反，要求某几个元素不能相邻。我们可以先把其余的元素进行排列组合，然后再把不能相邻的元素插到排列好的元素之间的空隙之中。

【例】
A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B不能站在一起，问有多少种排列方式？

思路：
先对没有要求的元素进行排队，有$A_{3}^{3}$种情况，排列好的元素之间形成了$A_{4}^{2}$种情况，所以，共有，
$A_{3}^{3}A_{4}^{2}=72$
种情况。

四、间接法

其实就是在找互斥（对立）事件，原问题看起来可能很复杂，要讨论的情况很多。但是其互斥事件相对简单简单一些。然后用总的可能情况减去互斥的情况。

【例】
A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B必须有一个排在前两排的位置，问有多少种排列方式？

思路：
如果按照题目要求直接来做的话，需要讨论A排在前两排，或B排在前两排，或A和B同时排在前两排三种情况，比较繁琐。这里我们可以考虑其对立事件，即A和B都没有排在前两排的情况。那么，我们可以先对没有约束的元素进行排序，有$A_{3}^{3}$种情况，然后对A排序，有$A_{2}^{1}$种组合，对B排序，有$A_{3}^{1}$种组合。不考虑约束，共有$A_{5}^{5}$种组合，所以，满足条件的排列有，
$A_{5}^{5}-A_{3}^{3}A_{2}^{1}A_{3}^{1}=120-36=84$
种情况。

五、实战

拿了一个网易的面试题练练手，看看大部分的题不是那么中规中矩的

【例】

从数字集合{1,2,3,4,… ,20}中选出4个数字的子集，如果不允许两个相连的数字出现在同一集合中，那么能够形成多少个这种子集？

思路：
看起来好像和前面的方法没有关联，其实是有的。从20个数字中挑选出4个不相邻的数字，其实和这个问题是一样的：“将4本书添加到16本书里，有多少种添加方式？”，16本书，共产生17个间隙，选择4个间隙，共有
$C_{17}^{4}=2380$
种情况。
不是$A_{17}^{4}$是因为集合内的元素没有先后顺序。

参考资料：
1.网易数据分析面试题：
https://www.nowcoder.com/questionTerminal/dd21a5b395a143ea8d732bfc98ba41bc