數學@2019

　　年初，證明了指標定理，爲數學和物理學作出傑出貢獻的數學家邁克爾·阿蒂亞爵士與世長辭，享年 89 歲；3 月，數學領域的最高獎項之一——阿貝爾獎——授予了數學家凱倫·烏倫貝克，以表彰她在“幾何偏微分方程、規範理論和可積系統的開創性貢獻，以及她在分析、幾何和數學物理領域的工作上的深遠影響 ”，她也成爲了首位獲此殊榮的女性數學家。
　　數學的世界從來不乏這些偉大的頭腦，更多年輕的數學家在前人的智慧成果之上，砥礪前行。2019 年即將結束，回望這一年，有些最基礎的數學概念、數學方法被重新審視，有些最難的謎題因某些證明或新技術的出現而取得重大進展，還有一些已經存在很久的問題得到了徹底解決......
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　　<strong>無理數</strong>是無法被寫成分數的沒有盡頭的數。當我們需要用到一個無理數時，通常會四捨五入地取到它的某一位。比如π被近似爲 3.14，也就是 157/50，但 22/7 實則是更貼近π的值。一系列有關於無理數的問題一直困擾着數學家，那就是：無理數究竟能被近似到多精確？是否存在一個精確性的極限？
　　對這些問題的探討可以追溯到 19 世紀初，至今一直沒有明確答案。1941 年，物理學家<strong>Richard Duffin</strong>和數學家<strong>Albert Schaeffer</strong>試圖用一個簡單的猜想來回答這些問題。他們提出在對無理數進行近似時，要先有一個無限長的序列作爲分母，然後再確定要以怎樣的精確度（誤差大小）來近似一個無理數。那麼在這種情況下，是否就能基於已經有的分母序列和已經設定好的誤差大小，找到無限多個分數來近似所有無理數嗎？
　　Duffin 和 Schaeffer 認爲，答案是要麼所選的分母列表能以需要的精確度對所有無理數實現近似，要麼一個也不能近似。雖然大多數學家都認可 Duffin 和 Schaeffer 的猜想，卻沒人可以證明。終於，在 2019 年夏，數學家<strong>James Maynard</strong>與<strong>Dimitris Koukoulopoulos</strong>利用一堆點的圖形，通過將問題轉化爲一個無窮序列究竟是發散還是收斂的問題，解決了這個近 80 年的謎題，取得了數學上最難的一項成就之一。目前，其他數學家還在研習和檢查 Maynard 和 Koukoulopoulos 提交的那份長達 44 頁的證明。
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　　<strong>敏感度猜想</strong>是<strong>組合學</strong>和<strong>理論計算機</strong>中最令人困惑的問題之一。這個猜想與<strong>布爾函數</strong>有關，布爾函數是一系列將一串輸入位（0、1）轉換成一個單一輸出位的規則。“敏感度”是一種用來描述布爾函數複雜性的度量，它描述的是當一串輸入位中的單一一個輸入位被改變時，會導致輸出位發生改變的可能性。在所有描述複雜性的度量中，幾乎所有其他度量都可被用來衡量其他度量的值，似乎只有敏感度是一個例外。有數學家在 1992 年提出猜想，認爲敏感度並不是一個例外。但近 30 年來，沒有人能真正證明這一猜想。
　　今年，數學家<strong>黃皓</strong>將問題轉化成立方體上的點的組合學，僅用兩張紙的篇幅，巧妙的完成了論證。
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　　一個已經存在了半個世紀之久的謎題，在今年被數學家<strong>Asger Dag Törnquist</strong>解開。這個謎題與<strong>拉姆齊定理</strong>有關。拉姆齊定律說的是，在一個有 6 個人的聚會上，至少有 3 個人相互認識或相互不認識。1969 年，英國數學家<strong>Adrian R.D. Mathias</strong>開始思考，拉姆齊定律是否存在一個無窮大版本，由此產生了這個集合論領域中涉及到無窮大的理論難題。
　　這個抽象的問題可以用一種假想的彩票來解釋：有這樣一張彩票，它的上面有無窮行數字，每行都有無窮多個數字，而且每一行不能與其他某一行擁有無窮多個相同的數字。開獎方式是抽取無窮多個數字，如果彩票上的某一行的數字與抽取的數字有無窮多個相同，那麼這張彩票就中獎了。那麼問題來了：這張彩票是否每次都能中獎？
　　Mathias 發現這個問題與被稱爲“<strong>MAD 族</strong>”的數學概念有關，一個 MAD 族就像是一張總能以某種獨特而又無限的方式中獎的彩票，但卻他無法證明這種關聯的存在。直到今年，Törnquist 與合作者提交了一篇論證，證實瞭如果彩票號碼中沒有特定的模式和規律，就不會組裝出這樣一張彩票，因而完整證明了不存在這樣一張永遠能中獎的特殊彩票。
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　　在數論領域，有這麼一個看似容易卻難如登天的問題，那就是“是否每一個整數都可以表示爲三個整數的立方和？即是否存在整數k、x、y、z，使得對於所有的k，它們都滿足丟番圖方程 k = x³ + y³ + z³。對有的k值來說，它的解可以很容易被找到；但對有的k來說卻異常困難。首先要確定它是否真的存在這樣一組解；接着即便有的解真的存在，似乎也很難被計算出來。
　　今年，在 100 以內但還沒有被求出解的最後兩個整數——33 和 42——被先後求解。3 月，英國數學家<strong>Andrew Booker</strong>利用超級計算機解得 
　　33 = 8866128975287528³ + (−8778405442862239)³ + (−2736111468807040)³。
　　9 月，Booker 與 MIT 的數學家<strong>Andrew Sutherland</strong>通過一個慈善引擎找到了屬於 42 的解：
　　42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³ 
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　　位列千禧年大獎的七大難題之一的<strong>黎曼假設</strong>是數學中最令人費解的問題之一。這個與<strong>質數</strong>有關的假設已經困擾人們長達 160 年之久。黎曼注意到質數的分佈與<strong>黎曼ζ函數</strong>中函數值爲 0 的點密切相關。他推測如果對黎曼ζ函數進行繪圖，會看到函數中一些特定的 0 點都落在一條特定的直線上。
　　今年，幾位數學家通過使用一種陳舊的方法——<strong>Jensen 多項式</strong>——爲證明黎曼假設帶來了新的進展。Jensen 多項式是種<strong>複函數</strong>，數學家將問題轉化爲，如果可以證明讓 Jensen 多項式爲 0 的值都是實數，那麼黎曼假設爲真。在新的工作中，數學家證明了許多 Jensen 多項式的確有實根，這滿足了證明黎曼假設所需的大部分條件。從一定程度上看，新的結果進一步支持了大多數學家所認爲的黎曼假設是正確的這一觀點，爲黎曼假設的正確性提供了新的證據。
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　　已經困擾了數學家近 60 年之久的<strong>向日葵猜想</strong>在今年迎來了新的進展。1960 年，數學家<strong>Paul Erd?s</strong>和<strong>Richard Rado</strong>提出向日葵猜想，它與<strong>集合</strong>有關，比如在平面x-y 上，每個集合包含固定數量的點，然後隨機畫環，讓每個環中含有這一數量的點，環與環可以重疊。當繪製了許多環時，多數環會重疊並糾纏在一起。向日葵猜想說的是，在這樣的情況下，有一個微妙的結構總是會出現：三個或更多的集合會在完全相同的點的子集上重疊，而且它們之中沒有一個會與其他的任何集合重疊。如果將這些共有的點的子集刪除，那麼這三個集合就會圍繞着一個空隙排列，彼此之間完全分離，就像向日葵的花瓣圍繞着中心的黑色部分那樣。
　　今年，四名由數學家和計算機科學家組成的團隊將布爾函數的知識運用到了向日葵問題上，將問題分解成了兩種不同的場景：一個是考慮當集合存在大量重疊時會發生什麼，另一個是分析當集合沒有太多重疊時會發生什麼。最終證明了(log w)?個集合就足以產生向日葵，比 Erd?s和 Rado 的結果w?精進了一個數量級。
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　　<strong>歐拉方程</strong>是描述了流體隨時間演化的方程組。更確切地說，歐拉方程描述的是流體中無窮小的粒子的瞬時運動，這包括一個粒子的<strong>速度</strong>和它的<strong>渦量</strong>。歐拉方程包含幾個非物理性的假設，例如它們假設當流體的內流在流過彼此時不會產生摩擦，以及它們還假設流體是不可壓縮的。
　　多年來，很多數學家一直懷疑歐拉方程在某些特定的情況下會失效，但沒有人能給出確切的證明。
　　今年，數學家<strong>Tarek Elgindi</strong>用一個新的證明找到了能讓歐拉方程失效的特定條件。在他的證明裏，他在一定程度上簡化了歐拉方程需要處理的工作，找到了歐拉方程的”奇點“，證明了在歐拉方程中，當流體中的兩個環相向運動時，在相撞的點上能得出無窮大的渦流結果，從而導致歐拉方程在這一點上失效。
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　　<strong>孿生素數</strong>是指那些相差爲 2 的素數對，比如 3 和5、5 和7、11 和 13……除了 3 和 5 之外，每個孿生素數對中的第一個素數總是比 6 的倍數小1，因而第二個孿生素數總是比 6 的倍數大1。1849 年，法國數學家<strong>波林那克</strong>提出孿生素數猜想，它說的是在自然數集中，這樣的孿生素數對有無窮多個。但這個猜想至今無人能證明。
　　這個猜想的主要進展集中在最近 10 年。2013 年，數學家<strong>張益唐</strong>完美地證明了差值爲 7000 萬的素數有無窮多個；在過去的 6 年裏，包括<strong>陶哲軒</strong>在內的數學家一直在將這個素數差值縮小，目前的最好結果是 246。
　　今年 9 月，數學家<strong>Will Sawin</strong>和<strong>Mark Shusterman</strong>提供了一個證明孿生素數猜想的新方法。他們在有限數系統的設定下討論孿生素數問題，利用有限域的性質將問題用幾何方式進行探討，將孿生素數猜想與素多項式聯繫了起來。利用這種方法，他們證明了孿生素數猜想在有限域中是正確的，即相差任意間隔的孿生素多項式有無窮多對。
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　　今年 9 月，數學家<strong>陶哲軒</strong>向<strong>考拉茲猜想</strong>發起挑戰，爲這個已存在了 82 年的猜想帶來了進展。考拉茲猜想的核心就是圖中的函數f(n)，n爲任意自然數，規則是當n爲偶數時，函數值爲n的一半；當n爲奇數時，函數值比n的三倍多1。取任意自然數，一遍又一遍地在f(n)中迭代，最終會得到1。
　　考拉茲猜想說的就是，以任何自然數開始代入這個方程，都會以 1 結尾。目前，數學家已經驗證了 10²?以內的數字，但還沒有從數學的角度上真正證明這一猜想對所有的自然數都成立。
　　這次，陶哲軒讓考拉茲猜想幾乎得到了解決，與這個“幾乎”對應的專業術語是<strong>對數密度</strong>，它描述瞭如果真的存在考拉茲猜想的反例的話，反例的罕見程度會是多少。陶哲軒證明了這樣的反例有可能存在，但當數字越大，這樣的反例的出現頻率就會越趨近於0。
　　陶哲軒表示，雖然新的結果表明考拉茲猜想的反例極其罕見，但它仍有別於“完全不存在”。要真正完全解開這個謎題，還有很長一段路要走。
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　　乘法已經有數千年的歷史了，然而，這個幾乎人人都會的數學算法其實一直是數學中的一個活躍的研究領域。對極大的數字來說，現有的乘法算法並不高效。因而精進乘法算法對於提升計算速度來說有着至關重要的意義。
　　傳統的乘法算法在計算n位數乘以n位數的運算時一般需要n²步。1962 年，數學家<strong>Anatoly Karatsuba</strong>找到了能將n位數的數字相乘的運算量縮減到n¹·??。到了 1971 年，德國數學家<strong>Arnold Schonhage</strong>和<strong>Volker Strassen</strong>進一步將運算量減少到n×log (n)×log (log (n))步，並推測出對n位數數字的相乘來說，極限步數應該是n×log (n)。
　　近幾十年來，數學家們一直在逼近這一極限，直到今年 3 月，數學家<strong>David Harvey</strong>和<strong>Joris van der Hoeven</strong>終於抵達了這一極限。
　　除了提到的這些例子之外，還有其他一些數學領域也取得了進展。比如數學家用幾十年的時間，試圖用更靈活的“等價”概念來替換我們一直使用的“等號”。再比如在今年 8 月，陶哲軒和三位物理學家一起，用一個簡單的新公式將矩陣中的特徵值和特徵向量以一種全新的方式聯繫了起來 ，在產生了新的數學見解的同時，還使得對中微子的研究變得更加簡單……
　　在純數學家的眼中，數學是優雅、美好的藝術，他們並不習慣於常去考慮他們所做的一切是否會有何實際用途。但千百年來，無論是科學技術，還是人類的思考方式，都在數學的影響下悄然改變。在新時代到來之際，我們期待在下一個十年，數學會給我們帶來更多驚喜。