內置式永磁同步電機IPMSM數學模型

1、永磁同步電機簡介

三相永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM)按照轉子結構的不同可分爲:

• 表貼式永磁同步電機（Surface-mounted Permanent Magnet Synchronous Motor, SPMSM)
• 內置式永磁同步電機(Inner-mounted Permanent Magnet Synchronous Motor, IPMSM)

其結構圖如圖1所示。

圖1 永磁同步電機的轉子結構簡圖 SPMSM和IPMSM在物理特性上分別有如下特點：

(1)表貼式永磁同步電機：

• 永磁體呈瓦片狀貼附在轉子的外表面
• 氣隙均勻，氣隙的磁密波形趨近於正弦波
• 永磁材料的磁導率接近於空氣磁導率1
• 轉子磁路對稱，軸電感相等

(2)內置式永磁同步電機：

• 永磁體位於轉子內部
• 氣隙不均勻
• 磁極直軸磁阻小
• 相鄰的極間交軸磁阻大，使得轉子磁路不對稱，可以利用其產生較大的同步轉矩
• 軸電感不相同，電磁性能表現爲凸極性

2 內置式PMSM的座標變換原理及其數學模型

PMSM數學模型包括a-b-c三相座標系、α-β兩相靜止座標系和d-q兩相同步旋轉座標系下三種數學模型，本文所研究的IPMSM具有a、b、c三相對稱繞組，爲了簡化分析其數學模型，需假設IPMSM爲理想電機，滿足以下條件：

• 忽略電機的渦流和磁滯損耗；
• 忽略電機定、轉子的鐵芯飽和效應；
• 電機穩定運行時，三相繞組的電流波形爲標準的正弦波；
• 永磁材料電導率爲0，其內部磁導率假定與空氣磁導率相同。

基於以上假設對三種座標系分別作了座標變換和數學模型的研究。

(1) a-b-c三相座標系

在a-b-c三相座標系下，IPMSM的電壓方程可表示爲
$\left[ \begin{matrix} {{u}_{a}} \\ {{u}_{b}} \\ {{u}_{c}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{R}_{s}} & 0 & 0 \\ 0 & {{R}_{s}} & 0 \\ 0 & 0 & {{R}_{s}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} {{\psi }_{a}} \\ {{\psi }_{b}} \\ {{\psi }_{c}} \\ \end{matrix} \right]\tag{1}$

式中：${{u}_{a}}$、${{u}_{b}}$、${{u}_{c}}$爲定子三相電壓，V；${{i}_{a}}$、${{i}_{b}}$、${{i}_{c}}$爲定子三相電流，A；${{R}_{s}}$爲定子電阻，Ω；${{\psi }_{a}}$、${{\psi }_{b}}$和${{\psi }_{c}}$分別爲a、b、c三相繞組的磁鏈，Wb。

式中三相繞組的磁鏈方程可表示爲
$\left[ \begin{matrix} {{\psi }_{a}} \\ {{\psi }_{b}} \\ {{\psi }_{c}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{L}_{a}} & {{M}_{ab}} & {{M}_{ac}} \\ {{M}_{ba}} & {{L}_{b}} & {{M}_{bc}} \\ {{M}_{ca}} & {{M}_{cb}} & {{L}_{c}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right]+{{\psi }_{f}}\left[ \begin{matrix} \cos {{\theta }_{e}} \\ \cos \left( {{\theta }_{e}}-\frac{2\pi }{3} \right) \\ \cos \left( {{\theta }_{e}}+\frac{2\pi }{3} \right) \\ \end{matrix} \right] \tag{2}$

式中：${{L}_{a}}$、${{L}_{b}}$、${{L}_{c}}$爲a-b-c三相繞組自感係數，H；${{\psi }_{f}}$爲永磁磁極產生的與定子繞組交鏈的磁鏈，Wb；${{M}_{xy}}={{M}_{yx}}(x=abc,y=abc)$爲定子繞組互感係數，H；${{\theta }_{e}}$爲電機轉子位置弧度值，$rad$。

在a-b-c三相座標系下，其數學模型是與轉子瞬時位置有關的非線性方程，使得IPMSM電壓和磁鏈方程較複雜。因此，需要建立更簡單的數學模型，以方便對IPMSM進行控制。

(2) α-β兩相靜止座標系

先建立永磁同步電機三個座標系的關係，建立的兩相靜止座標系中α軸與三相座標系a相軸線重合，而β軸與α軸呈90º。建立的兩相旋轉座標系d軸與轉子磁鏈軸線重合，其方向與IPMSM轉子勵磁磁鏈方向相同，將q軸逆時針超前d軸90º，建立d-q軸座標系。其座標系之間的關係如圖2所示，從圖中可以看a軸與d軸夾角爲${{\theta }_{e}}$，假設一電流i，其與d軸夾角爲${{\theta }_{m}}$，${{i}_{a}}{{i}_{b}}{{i}_{c}}$爲i在a-b-c軸系下的電流分量，${{i}_{\alpha }}{{i}_{\beta }}$爲其在α-β軸系的電流分量，${{i}_{d}}{{i}_{q}}$爲d-q軸系下的電流分量，由電流i爲基礎研究座標變換。

圖2三種座標系之間的關係

首先爲了簡化自然座標系(a-b-c相)下IPMSM的數學模型，將a-b-c軸系變換到α-β軸系，此變換稱爲Clark變換，根據圖2各座標之間的關係，變換爲矩陣形式可得
$\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ \begin{matrix} & {{i}_{\beta }} \\ & {{i}_{0}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right]={{T}_{abc/\alpha \beta }}\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right] \tag{3}$

式中：${{\mathbf{T}}_{\text{abc/}\alpha \beta }}$爲Clark變換矩陣。將α-β軸系變換到a-b-c軸系的座標變換稱爲反Clark變換，如式(4)中${{\mathbf{T}}_{\alpha \beta /\text{abc}}}$，表示爲：
$\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}{} 1 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \begin{matrix} & -\frac{1}{2} \\ & -\frac{1}{2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ {{i}_{0}} \\ \end{matrix} \right]={{T}_{\alpha \beta /abc}}\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ {{i}_{0}} \\ \end{matrix} \right] \tag{4}$

式中：${{\mathbf{T}}_{\alpha \beta /\text{abc}}}$爲反Clark變換矩陣。通過Clark變換由式(1)、(2)、(3)聯立可得α-β兩相靜止座標系下的電壓方程爲
$\left[ \begin{matrix} {{u}_{\alpha }} \\ {{u}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{R}_{s}} & 0 \\ 0 & {{R}_{s}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]+\frac{d}{dt}\left[ \begin{matrix} {{\psi }_{\alpha }} \\ {{\psi }_{\beta }} \\ \end{matrix} \right] \tag{5}$

其中，
$\left[ \begin{matrix} {{\psi }_{\alpha }} \\ {{\psi }_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} L\text{+}\Delta L\cos 2{{\theta }_{e}} & \Delta Lsin2{{\theta }_{e}} \\ \Delta Lsin2{{\theta }_{e}} & L-\Delta L\cos 2{{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]+{{\psi }_{f}}\left[ \begin{matrix} \cos {{\theta }_{e}} \\ sin{{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right] \tag{6}$

式中：${{u}_{\alpha }}{{u}_{\beta }}$爲定子電壓的α-β軸分量；${{\psi }_{\alpha }}{{\psi }_{\beta }}$爲磁鏈的α-β軸分量；$L=\left( Ld+Lq \right)/2$，$\Delta L=(LdLq)/2$ ，分別爲d、q軸電感均值和差值。

α-β兩相靜止座標系下轉矩方程爲：
${{T}_{e}}={{p}_{n}}\left[ {{\psi }_{\alpha }}{{i}_{\beta }}-{{\psi }_{\beta }}{{i}_{\alpha }} \right] \tag{7}$

其中${{p}_{n}}$爲電機極對數。相比較於a-b-c座標系下的模型，α-β座標系數學模型得到了一定簡化。但對於IPMSM，其${{L}_{d}}$≠${{L}_{q}}$，使得在α-β座標系下IPMSM的電壓、磁鏈、轉矩方程仍是非線性方程組。因此，需對其數學模型進行進一步簡化。

(3) d-q兩相同步旋轉座標系

圖2中將α-β軸系變換到$d\text{-}q$軸系的座標變換稱爲Park變換，如式(8)中${{\mathbf{T}}_{\alpha \beta /dq}}$，根據座標關係可以推出
$\left[ \begin{matrix} {{i}_{d}} \\ {{i}_{q}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \cos {{\theta }_{e}} & \sin {{\theta }_{e}} \\ -\sin {{\theta }_{e}} & \cos {{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]={{T}_{\alpha \beta /dq}}\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right] \tag{8}$

將$d\text{-}q$軸系變換到$\alpha \text{-}\beta$軸系的座標變換稱爲反Park變換，如式(9)中${{\mathbf{T}}_{dq/\alpha \beta }}$，根據座標關係可以推出:
$\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \cos {{\theta }_{e}} & -\sin {{\theta }_{e}} \\ \sin {{\theta }_{e}} & \cos {{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{d}} \\ {{i}_{q}} \\ \end{matrix} \right]={{T}_{dq/\alpha \beta }}\left[ \begin{matrix} {{i}_{d}} \\ {{i}_{q}} \\ \end{matrix} \right] \tag{9}$
將式(5)進行Park變換可得：
$\left\{ \begin{matrix} {{u}_{d}}={{R}_{s}}{{i}_{d}}+\frac{d}{dt}{{\psi }_{d}}-{{\omega }_{e}}{{\psi }_{q}} \\ {{u}_{q}}={{R}_{s}}{{i}_{q}}+\frac{d}{dt}{{\psi }_{q}}+{{\omega }_{e}}{{\psi }_{d}} \\ \end{matrix} \right. \tag{10}$

式中：${{u}_{d}}$、${{u}_{q}}$分別爲定子電壓的$d\text{-}q$軸分量，${{\psi }_{d}}$、${{\psi }_{q}}$分別爲磁鏈的$d\text{-}q$軸分量，${{\omega }_{e}}$爲磁場旋轉電角速度，rad。其中磁鏈的$d\text{-}q$軸分量關係式爲:
$\left\{ \begin{matrix}{} {{\psi }_{d}}={{L}_{d}}{{i}_{d}}+{{\psi }_{f}} \\ {{\psi }_{q}}={{L}_{q}}{{i}_{q}} \\ \end{matrix} \right. \tag{11}$
式中：${{L}_{d}}$、${{L}_{q}}$分別爲$d\text{-}q$軸電感。將式(11)代入式(10)即可以得到$d\text{-}q$兩相旋轉座標系下的電壓方程爲：
$\left\{ \begin{matrix}{*{35}{l}} {{u}_{d}}={{R}_{s}}{{i}_{d}}+{{L}_{d}}\frac{d}{dt}{{i}_{d}}-{{\omega }_{e}}{{L}_{q}}{{i}_{q}} \\ {{u}_{q}}={{R}_{s}}{{i}_{q}}+{{L}_{q}}\frac{d}{dt}{{i}_{q}}+{{\omega }_{e}}({{L}_{d}}{{i}_{d}}+{{\psi }_{f}}) \\ \end{matrix} \right. \tag{12}$

根據機電能量轉換原理，此時電磁轉矩方程爲
${{T}_{e}}=\frac{3}{2}{{p}_{n}}{{i}_{q}}\left[ {{i}_{d}}({{L}_{d}}-{{L}_{q}})+{{\psi }_{f}} \right]\tag{13}$

另外，電機的機電運動方程爲:
$J\frac{d{{\omega }_{m}}}{dt}={{T}_{e}}-{{T}_{L}}-B{{\omega }_{m}}\tag{14}$

式中：$J$爲電機的轉動慣量，kg*m2；${{\omega }_{m}}$爲機械角速度，rad/s；${{T}_{L}}$爲負載轉矩，Nm；B爲阻尼係數。
其中數學模型轉換中另外存在的重要關係式爲：
$\left\{ \begin{matrix}{} {{\omega }_{e}}={{p}_{n}}{{\omega }_{m}} \\ {{N}_{r}}=\frac{30}{\pi }{{\omega }_{m}} \\ {{\theta }_{e}}=\int{{{\omega }_{e}}dt} \\ \end{matrix} \right.\tag{15}$

其中${{N}_{r}}$爲電機的轉速，rpm。