這節筆記我們討論一個特殊的一階理論：含等式的一階理論。
含等式的一階理論K是這麼個理論：它有一個謂詞符號A21 ，然後我們把A21(t,s) 簡寫爲t=s ，把¬A21(t,s) 簡寫爲t≠s 。這個理論除了A1-A5這5套公理之外，還附帶以下兩套公理：
(A6) (∀x1)x1=x1 ， （自反性）
(A7) x=y⇒(B(x,x)⇒B(x,y)) ，（替換性）
其中A7的x,y 是任意變量，B(x,x) 是任意wf，B(x,y) 是用y 取代B(x,x) 中任意次數自由出現的x 而得，當然前提是y 對x 自由。
這個含等式的理論和我們常識所認識的算術系統有些關聯了，接下來我們看看它有什麼性質。
命題2.43：對任一含等式的理論，
(a) ⊢t=t ，對任意項t ;
(b) ⊢t=s⇒s=t ，對任意項t,s ;
(c) ⊢t=s⇒(s=r⇒t=r) ，對任意項t,s,r 。
注：這三個定理通常分別稱作自反性、對稱性、傳遞性。
證明：(a) 根據A6有⊢(∀x1)x1=x1 ，再根據A4有⊢(∀x1)x1=x1⇒t=t （好式子x1=x1 沒有受限變量，所以任意t 對x1 都是自由的）。所以應用MP就得到⊢t=t 。
(b) 首先，取兩個變量x,y ，它們在項t,s 中均沒有出現。然後，取B(x,y) 爲y=x 。根據A7有⊢x=y⇒(x=x⇒y=x) 。所以假設x=y ，又因爲⊢x=x ，應用兩次MP就可得到y=x ，即x=y⊢y=x 。接着用演繹定理得到⊢x=y⇒y=x 。然後用兩次Gen，得到⊢(∀x)(∀y)(x=y⇒y=x) 。再用兩次A4（x,y 都不在t,s 中，所以t,s 對x,y 都自由），就可得到⊢t=s⇒s=t 。
(c) 採用和(b)類似的方法，選三個變量x,y,z ，它們都沒有在t,s,r 中出現。只要證明⊢x=y⇒(y=z⇒x=z) 即可（接着用三次Gen和三次A4）。取B(y,y) 爲y=z ，B(y,x) 爲x=z 。根據A7有⊢y=x⇒(y=z⇒x=z) 。又根據(b)的⊢x=y⊢y=x ，所以得出x=y⇒(y=z⇒x=z) （這裏用了前面多次使用的“傳遞性”，即⊢(A⇒B)⇒((B⇒C)⇒(A⇒C)) ）。
證畢
來點簡單習題鞏固下概念。
命題2.44：
(a) ⊢(∀x)(B(x)⇔(∃y)(x=y∧B(y))) ， 若y 在B(x) 中沒有出現。
證明：只需證B(x)⇔(∃y)(x=y∧B(y)) ，然後運用Gen即可。
先證⊢B(x)⇒(∃y)(x=y∧B(y)) ，
1. (∀y)¬(x=y∧B(y)) ，假設前提
2. (∀y)¬(x=y∧B(y))⇒¬(x=x∧B(x)) ，由A4，不難看出x 對y 自由
3. ¬(x=x∧B(x)) ，由1、2和MP
4. ¬x=x∨¬B(x) ，由3和合取消除規則¬(B∧D)⊢¬B∨¬D
5. x=x ，由命題2.43(a)
6. ¬B(x) ，由4、5和析取消除規則B∨D,¬B⊢D
7. (∀y)¬(x=y∧B(y))⊢¬B(x) ，由1-6
8. ⊢(∀y)¬(x=y∧B(y))⇒¬B(x) ，演繹定理，過程沒用過Gen
9. ⊢B(x)⇒¬((∀y)¬(x=y∧B(y))) ，由8和條件逆否規則
10. ⊢B(x)⇒(∃y)(x=y∧B(y)) ， 9的縮寫，證畢
反過來，再證⊢(∃y)(x=y∧B(y))⇒B(x) 。利用條件逆否規則，只需證
⊢¬B(x)⇒(∀y)¬(x=y∧B(y))
1. x=y∧B(y) ，假設前提
2. x=y,B(y) ，由1和合取消除規則
3. x=y⇒(B(y)⇒B(x)) , 由A7，不難看出x 對y 自由。
4. B(x) ，由3、4和兩次MP
5. x=y∧B(y)⊢B(x) ，由1-4
6. ⊢(x=y∧B(y))⇒B(x) ，由5和演繹定理，全程沒用Gen
7. ⊢¬B(x)⇒(x=y∧B(y)) ，6和條件逆否規則
8. ⊢(∀y)(¬B(x)⇒(x=y∧B(y))) ，7和Gen
9. ⊢¬B(x)⇒(∀y)¬(x=y∧B(y)) ，由8、A5和MP，y 在B(x) 中對x 自由。
證畢
(b) ⊢(∀x)(B(x)⇔(∀y)(x=y⇒B(y))) ，若y 在B(x) 中沒有出現。
證明：同(a)一樣，證(∀x) 裏面的wf即可。
從左到右，注意A5的使用（y 在B(x) 中沒有出現，也就對x 自由），只需證B(x)⇒(x=y∧B(y)) 。要證這個，只需運用A7和⊢x=y⇔y=x 即可。
從右到左，太簡單了，應用A4即可。
證畢
(c) (∀x)(∃y)x=y
注：這要翻譯成自然語言，看起來就是顯然成立的。這個例子再次看出，要想在“語法上”符合自然語言的那些顯而易見的真理，則必須建立各種公理和推導規則。你試着換一下位置，(∃y)(∀x)x=y 就不對了，不僅在語意上不對，在語法上也推不出來。
證明：
1. ⊢(∀y)¬x=y⇒¬x=x ，應用A4，x 在¬x=y 中對y 自由
2. ⊢x=x⇒¬(∀y)¬x=y ，由1和條件逆否規則
3. ⊢x=x⇒(∃y)x=y ，2的縮寫
4. ⊢x=x ，命題2.43(a)
5. ⊢(∃y)x=y ，由4、5和MP
6. ⊢(∀x)(∃y)x=y
證畢
公理A7可以簡化，之前它說的是對所有wf成立。其實，它只需對“不含常量符號的原子wf”成立即可。
命題2.45：K是一階理論，其中A6和A7對所有不含常量符號的原子wf成立。那麼，K是一個含等式的理論。
證明：這裏意思就是要證明A7對所有wf成立。證明之前，注意兩個東西：第一，命題2.43在此也成立，因爲它的證明過程只涉及到原子wf，而且也不包含常量符號。第二，很容易證明A7對所有原子wf成立，因爲如果一個原子wf，B ，包含常量符號，那麼，取B 中沒出現的變量符號，依次取代它裏面的常量符號，得到B′ 。根據條件，A7對B′ 成立。然後，用多次Gen，把常量符號對應的變量符號加上全稱量詞限制，再用多次規則A4，就能得出A7對B′ 成立。
在上述基礎上，我們證明A7對所有wf成立。又是老方法，採用基於連接符號和全稱量詞的歸納法。
(i) B(x,x) 是¬D(x,x) 的形式。根據歸納假設，A7對D(x,x) 成立，所以⊢y=x⇒(D(x,y)⇒D(x,x)) 。（這裏沒寫錯，D(x,x) ，D(x,y) 的意思本來就是x ，y 在D(x,x) 裏面的自由出現的x 位置上隨意取代，所以D(x,y) 其實寫成D(y,y) 也是一樣的）。又因爲⊢x=y⇒y=x ，再運用傳遞性和條件逆否規則，可得到⊢x=y⇒(¬D(x,x)⇒¬D(x,y)) ，即⊢x=y⇒(B(x,x)⇒B(x,y)) 。
(ii) B(x,x) 是C(x,x)⇒D(x,x) 的形式。跟上面一樣，巧用歸納假設，⊢x=y⇒(C(x,y)⇒C(x,x)) ，和⊢x=y⇒(D(x,x)⇒D(x,y)) 。然後利用永真式(A⇒(C1⇒C))⇒[(A⇒(D⇒D1))⇒(A⇒((C⇒D)⇒(C1⇒D1)))] 即可。
(iii) B(x,x) 是(∀z)D(x,x,z) 的形式。根據歸納假設有⊢x=y⇒(D(x,x,z)⇒D(x,y,z)) 。運用公理A5和MP可得⊢x=y⇒(∀z)(D(x,x,z)⇒D(x,y,z)) 。再用前面一個命題的結果⊢(∀x)(A⇒B)⇒((∀x)A⇒(∀x)B) ，即可。
證畢
若M是K（含等式的理論）的模型，如果M中對應K的等式的關係爲“相等關係”（identity relation），那麼就稱M是K的正常模型（normal model）。任何一個含等式理論的模型M都可以被“壓縮成”一個正常模型M’，以下是哥德爾完備性定理的一個擴展。
命題2.46：任何一個一致的含等式理論K都有一個有限的，或無限可數的正常模型。
