模擬賽Day1(20200207) T3 二分題【對樹的重心的充分利用】

題目描述：

題目分析：

先考慮$k=n$的情況，這是一個經典問題，結論爲所有點到重心的距離和。
證明：
對任意一點$u$，都有$dis(p_i,p_{i+1})\le dis(p_i,u)+dis(u,p_{i+1})$
那麼就有$\sum_{i=1}^ndis(p_i,p_{i\bmod n+1})\le2*\sum_{i=1}^ndis(p_i,u)$
當點$u$爲重心時，上式可以取到等號，即左邊取到最大值。
因爲重心的子樹大小一定$\le n/2$，形象地理解就是我們可以在不同的子樹間反覆橫跳，構造這樣的序列也是很容易的，比如按照dfs序從1開始：1，1+n/2，2，2+n/2，3，3+n/2…可以發現，每次要麼是跳進子樹，要麼是跳出子樹。
另一種理解是根據Hall定理，一定可以找到反覆橫跳的完備匹配。

根據上面的分析可以看出，$k=n$時的答案也可以表示爲$2*\sum_{u,v有邊相連,邊權爲w}w*min(siz[v],n-siz[v])$
用這種方法解決原問題可以用$f[i][j]$表示$i$的子樹中選了$j$個點的最大距離和，轉移時加上每條邊的貢獻，可以做到$O(nk)$

看回原問題，我們相當於是要找到答案的k個點的重心。

考慮枚舉重心，取離重心最遠的k個點，且保證每個子樹中的點不超過k/2個，直接這樣做的複雜度是$O(n^2logn)$

確定往哪邊走時可以用nth_element確定前k大，所以問題的複雜度爲$O(nlogn)$

關於$k$爲奇數的問題暫時沒有理解，存疑

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 200005
#define LL long long
using namespace std;
char cb[1<<18],*cs,*ct;
#define getc() (cs==ct&&(ct=(cs=cb)+fread(cb,1,1<<18,stdin),cs==ct)?0:*cs++)
inline void read(int &a){
	char c;while(!isdigit(c=getc()));
	for(a=c-'0';isdigit(c=getc());a=a*10+c-'0');
}
int n,m,siz[maxn];
bool vis[maxn];
int fir[maxn],nxt[maxn<<1],to[maxn<<1],w[maxn<<1],tot;
inline void line(int x,int y,int z){nxt[++tot]=fir[x],fir[x]=tot,to[tot]=y,w[tot]=z;}
void Getroot(int u,int ff,int tsz,int &g){
	siz[u]=1; bool flg=1;
	for(int i=fir[u],v;i;i=nxt[i]) if(!vis[v=to[i]]&&v!=ff)
		Getroot(v,u,tsz,g),siz[u]+=siz[v],flg&=siz[v]<<1<=tsz;
	if(flg&&(tsz-siz[u])<<1<=tsz) g=u;
}
struct node{
	LL d;int p;
	bool operator < (const node &t)const{return d>t.d;}
}a[maxn];
int cnt[maxn],num;
void dfs(int u,int ff,LL dis,int id){
	a[++num]=(node){dis,id};
	for(int i=fir[u],v;i;i=nxt[i]) if((v=to[i])!=ff) dfs(v,u,dis+w[i],id?id:v); 
}
void TDC(int u,int tsz){
	Getroot(u,0,tsz,u),vis[u]=1;
	num=0,dfs(u,0,0,0),nth_element(a+1,a+m,a+1+num);
	int v=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(++cnt[a[i].p]>m>>1) {v=a[i].p;break;}
	for(int i=fir[u];i;i=nxt[i]) cnt[to[i]]=0;
	if(v&&!vis[v]) TDC(v,siz[v]<siz[u]?siz[v]:tsz-siz[u]);
	else{
		sort(a+1,a+1+num); LL ans=0;
		for(int i=1,s=0;s<m;i++)
			if(cnt[a[i].p]<m>>1) cnt[a[i].p]++,s++,ans+=a[i].d;
		printf("%lld\n",ans<<1);
	}
}
int main()
{
	read(n),read(m);
	for(int i=1,x,y,z;i<n;i++) read(x),read(y),read(z),line(x,y,z),line(y,x,z);
	TDC(1,n);
}