【BZOJ1597】【USACO2008 Mar】土地購買 題解

題面：傳送門

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    我們會發現，長和寬均小於另一塊土地的土地是可以直接刪去的。如果將剩下來的土地按長從小到大的順序排序的話，那麼寬一定是滿足從大到小的。

    這時我們可以考慮dp$dp$ （建立在長從小到大排序的基礎上），dpi$d{p}_i$ 表示第1$1$ 塊土地到第i$i$ 塊土地都購買好了的最小總代價，則得出dp$dp$ 方程：

dpi=min{dpj+widthj+1⋅lengthi,0≤j<i}$$d{p}_i=min\{d{p}_j+widt{h}_{j+1}·lengt{h}_i,0\le j<i\}$$

    上述時間複雜度爲O(n2)$O(n^2)$ ，對於n≤50000$n\le 50000$ 的數據，會超時，我們考慮優化。

    由於長單調增，寬單調減，所以可以對原方程進行斜率優化，slopei,j=dpi−dpjwidthj+1−widthi+1$slop{e}_{i,j}=\frac{d{p}_i-d{p}_j}{widt{h}_{j+1}-widt{h}_{i+1}}$ ，用單調隊列維護，最終複雜度爲O(n)$O(n)$ 。

    全部代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
pair<int,int>a[50010];
bool nok[50010];
int cnt;
pair<int,int>land[50010];
long long dp[50010];
double slope(int i,int j)
{
    return (double)(dp[i]-dp[j])/(double)(land[j+1].second-land[i+1].second);
}
int q[50010];
int l,r;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        a[i]=make_pair(x,y);
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    int mx=0;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        if(a[i].second<=mx)nok[i]=true;
        else mx=a[i].second;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!nok[i])land[++cnt]=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        while(l<r && slope(q[l],q[l+1])<=land[i].first)l++;
        dp[i]=dp[q[l]]+1LL*land[q[l]+1].second*land[i].first;
        while(l<r && slope(q[r-1],q[r])>=slope(q[r],i))r--;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld",dp[cnt]);
    return 0;
}