算法學習-最長迴文子串

題目

給定字符串str，若子串s是迴文串，稱s爲str的迴文字串。設計算法，計算str的最長迴文字串。

枚舉所有字串，顯然是一種解法，但效率太過低下。

算法解析

• 因爲迴文串有奇數和偶數的不同，判斷一個串是否是迴文串，往往要分開編寫，造成代碼拖沓。
• 一個簡單的事實：纏度爲n的字符串，共有n-1個“鄰接”，加上首字符的前面，和末字符的後面，共n+1的“空”。因此，字符串本身和“空”一起，共有2n+1個，必定是奇數。如abbc-〉#a#b#c#；aba-〉#a#b#a#
• 因此，將帶計算母串擴展成gap串，計算迴文字串的過程中，只考慮奇數匹配即可。
• 字符串12212321-〉s[]="$#1#2#2#1#2#3#2#1#"；爲了處理統一，最前面加一位未出現的字符，如$
• 用一個數組P[i]來記錄以字符S[i]爲中心的最長迴文字串向左/右擴張的長度（包括S[i]），比如S和P的對應關係：
• S  # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
• P  1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1
  • P[i]-1正好是原字符串中迴文串的總長度

下面介紹一下回文算法的核心算法思想Manacher算法

如下圖

• 這裏需要求的是i的迴文字串的個數，mx爲目前匹配的最遠的位置，爲0到i-1中k+P[k]最大的數，代碼裏有體現，現在已知的是i以前的所有迴文字串是求出來的。
• 記i關於id的對稱點位j（=2*id-i），若此時滿足條件mx-i〉P[j];則有如下：
  • 記my爲mx關於id的對稱點（my=2*id-mx）；
  • 由於以S[id]爲中心的最大回文子串爲S[my+1...id...mx-1]，即：S[my+1，...，id]與S[id，...，mx-1]對稱，而i和j關於id對稱，因此P[i]=P[j]（P[j]是已知的）。

• 記關於id的對稱點爲j(=2*id-i)，若此時滿足條件mx-i〈P[j],則有如下：
  • 記my爲mx關於id的對稱點（my=2*id-mx）；
  • 由於以S[id]爲中心的最大回文子串爲S[my+1...id...mx-1],即：S[my+1,...,id]與S[id,...,mx-1]對稱，而i和j關於id對稱，因此P[i]至少等於mx-i（途中綠色框部分）。

代碼如下所示

void Manacher(char* s, int* P)
{
	int size = strlen(s);
	P[0] = 1;
	int id = 0;
	int mx = 1;
	for (int i = 1; i < size; i++)
	{
		if (mx > i)//mx比i大，說明i被mx控制住了
		{
			P[i] = P[2*id - i] ? P[2*id - i] < (mx - i);
		}
		else
		{
			P[i] = 1;
		}
		for (; s[i + P[i]] == s[i - P[i]]; P[i]++);
		if (mx < i + P[i])
		{
			mx = i + P[i];
			id = i;
		}
	}
}