普林斯頓微積分讀本筆記：第5章 連續性和可導性

連續性

在一點上連續

如果$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$，函數$f$在點$x=a$處連續。
爲了讓等式有意義，等號兩邊必須都是有定義的。如果極限不存在，那麼$f$在$x=a$處不連續，而如果$f(a)$不存在，那麼徹底完蛋。

1. 雙側極限$\lim_{x\to a}f(x)$存在(並且是有限的)
2. 函數在點$x=a$處有定義，即$f(a)$存在(並且是有限的)
3. 以上兩個量相等。

在區間上連續

1. 函數$f$在$(a,b)$中的每一點都連續
2. 函數$f$在點$x=a$處右連續，即$\lim_{x\to a^+}f(x)$(且有限)，$f(a)$存在，並且這兩個量相等
3. 函數$f$在點$x=b$處左連續，即$\lim_{x\to a^-}f(x)$(且有限)，$f(b)$存在，並且這兩個量相等

連續函數的例子

任意一個多項式，每一個都是連續的。
證明：
$\lim_{x\to -1}\frac{x^2-3x+2}{x-2}$
將$x=-1$代入上式求解得到結果爲$-2$，爲什麼可以這樣做？
上述極限的值與在$x=-1$處發生的情況無關，僅僅與在$x=-1$附近的情況有關這一點相矛盾。
但是可以用連續性證明：它將"附近的"與“在“聯繫了起來，本題中除了在分母爲$0$的點外，$f$是處處連續的。也就是說，除了在$x=2$處，$f$是處處連續的。因此，$f$在$x=-1$上是連續的，這就意味着
$\lim_{x\to -1}f(x)=f(-1)$

介值定理

如果$f$在$[a,b]$上連續，並且$f(a)<0$且$f(b)>0$，那麼在區間$(a,b)$上至少有一點$c$，使得$f(c)=0$，代之以$f(a)>0$且$f(b)<0$同樣成立
拓展：如果$f$在$[a,b]$上連續，並且$f(a)<M$且$f(b)>M$，那麼在區間$(a,b)$上至少有一點$c$，使得$f(c)=M$，代之以$f(a)>M$且$f(b)<M$同樣成立

奇數次多項式至少有一個根

最大值與最小值定理

如果$f$在$[a,b]$上連續，那麼$f$在$[a,b]$上至少有一個最大值和最小值。
條件：函數$f$連續，其次是個閉區間，因爲開區間可能導致某個在端點上之類

可導性

平均速率是行駛距離除以行駛時間，平均速度是位移除以行駛時間，速度可以是負的，但是速率必定是非負的。
在時刻$t$的瞬時速度
$\lim_{u\to t}\frac{f(u)-f(t)}{u-t}$
變體：定義$h=u-t$
$\lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$

導數

如果極限存在的話
$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
在這種情況下，$f$在$x$點可導。如果對於某個特定的$x$，極限不存在，那麼$x$的值就沒有在導函數$f'$的定義域中，即$f$在$x$點不可導。
速度正是位置關於時間的導數
例如：
$f(x)=x^2$
$f'(x) = {\lim_{h\to 0}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
$=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$
$=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}$
$=2x$

作爲極限比的導數

符號$\Delta x$表示”在x中的變化“
符號$dx$表示”$x$中的十分微小的變化“
$f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{d(x^2)}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2)=2x$
$\frac{dy}{dx}$是$y$關於$x$的導數，根本不是一個分數，它是當$\Delta x\to 0$是分數$\frac{\Delta y}{\Delta x}$的極限

二階導數和更高導數

二階導數：如果$y=f(x)$，那麼可以用$\frac{d^2y}{dx^2}$代替$f''(x)$
三階導數：$f'''(x),f^{(3)}(x),\frac{d^3y}{dx^3},\frac{d^3}{dx^3}(y)$

導數不存在

證明：$f(x)=|x|$
$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}$
當$x=0$時
$f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|0+h|-|0|}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h}$
該極限不存在，因爲左右極限不相等
存在不可導的連續函數

可導性和連續性

如果一個函數$f$在$x$上可導，那麼它在$x$上連續
首先一個函數可導，要證明它同時連續的話，那麼需要證明：
$\lim_{u\to x}f(u)=f(x)$
只有當等號兩邊同時存在時，上式才成立，用$h=u-x$作替換，這種情況下$u=x+h$，並且當$u\to x$時，$h\to 0$，因此，上式變爲：
$\lim_{h\to 0}f(x+h)=f(x)$
這樣，只需要證明等號兩邊都存在且相等
首先，$f$在$x$上可導，那就意味着$f'(x)$存在，根據$f'$的定義，極限$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$存在，這個式子中包含了$f(x)$，那麼它一定存在，否則上式無從談起。
接着需要想些聰明的辦法，技巧如下，證明另一個極限：
$\lim_{h\to 0}(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\times h)$
因爲：
$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \times \lim_{h\to 0}h=f'(x) \times 0=0$
但是可以在原始極限中就消去因子$h$得到：
$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}(f(x+h)-f(x))=0$
因爲$f(x)$根本不依賴與極限，所以提出來
$\lim_{h\to 0}f(x+h)=f(x)$
這就正是所需要證明的了，所以可導函數必定連續，但是連續函數不一定可導。