普林斯頓微積分讀本筆記： 第4章 求解多項式的極限問題

爲什麼不能說
$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2}=\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}=x-1=g(x)$
唯一的問題出在兩者的定義域不同

立方差公式：

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
證明：
${\lim_{x \to 3}\frac{x^3-27}{x^4-5x^3+6x^2}}$
${\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x^2)(x^2-5x+6)}}$
${\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x^2)(x-2)(x-3)}}$
${\lim_{x\to 3}\frac{(x^2+3x+9)}{(x^2)(x-2)}}$
$=3$

代入爲$\frac{非零}{0}$

證明：
${\lim_{x\to 1}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^3}}$
首先，代入$x=1$得到$-5/0$，在$1$的附近稍微移動一下$x$，分子保持負值，分母中，關鍵因子$(x-1)^3$，當$x>1$時它爲正，而當$x<1$時爲負。因此，可以總結：
$x>1,\frac{(-)}{(+)(+)}=(-)$
$x<1,\frac{(-)}{(+)(-)}=(-)$
所以單側極限存在。

共扼表達式

$\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x^2-9}-4}{x-5}$
$\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x^2-9}-4}{x-5} \times \frac{\sqrt{x^2-9}+4}{\sqrt{x^2-9}+4}$
$\lim_{x\to 5}\frac{(\sqrt{x^2-9})^2-4^2}{(x-5)(\sqrt{x^2-9}+4)}$
$\lim_{x\to 5}\frac{x+5}{(\sqrt{x^2-9}+4)}$
$=\frac{5}{4}$

$x\to \infty$時的有理函數的極限

當$x$很大時，首項決定一切。
假設$p(x)=3x^3-1000x^2+5x-7$，設$p_L(x)=3x^3$
證明$\lim_{x\to \infty}\frac{p(x)}{p_L(x)}=1$
$\lim_{x\to \infty}\frac{3x^3-1000x^2+5x-7}{3x^3}$
$\lim_{x\to \infty}(1-\frac{1000}{3c}+\frac{5}{3x^2}-\frac{7}{3x^3})$
技術上講，“和的極限等於極限的和”，這在所有的極限都是有限的的時候成立。
例如：
$\lim_{x\to \infty}(x+(1-x))$
$\lim_{x\to \infty}x+\lim_{x\to \infty}1-x$
$\infty-\infty$
$0$
但是答案是$1$
對於任意的$n>0$，只要$C$是常數，就有：
$\lim_{x\to \infty}\frac{C}{x^n}=0$
$\lim_{x\to \infty}(1-\frac{1000}{3c}+\frac{5}{3x^2}-\frac{7}{3x^3})$
$1-0+0-0=1$
$\lim_{x\to \infty}\frac{p(x)}{p_L(x)}=1$的利用：
此方法的一般思想是：當看到某個關於$p$的多項式$p(x)$是多於一項是，把它代以
$\frac{p(x)}{p(x)的首項}\times (p(x)的首項)$
證明：$\lim_{x\to \infty}\frac{x-8x^4}{7x^4+5x^3+2000x^2-6}$

$\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{x-8x^4}{-8x^4}\times (-8x^4)}{\frac{7x^4+5x^3+2000x^2-6}{7x^4}\times (7x^4)}$
$=\frac{-8}{7}$
證明：
$\lim_{x\to \infty}\frac{(x^4+3x-99)(2-x^5)}{(18x^7+9x^6-3x^2-1)(x+1)}$
不需要將多項式乘進去，只需要把每個多項式換爲$\frac{p(x)}{p(x)的首項}\times (p(x)的首項)$，就得到答案了。

考慮極限$\lim_{x\to \infty}\frac{p(x)}{q(x)}$

1. 如果$p$的次數等於$q$的次數，則極限是有限的且非零。
2. 如果$p$的次數大於$q$的次數，則極限是$\infty$或$-\infty$
3. 如果$p$的次數小於$q$的次數，則極限是$0$.

$x\to \infty$時的多項式型函數的極限

證明：
$\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{16x^4+8}+3x}{2x^2+6x+1}$
$\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{\sqrt{16x^4+8}+3x}{4x^2}\times (4x^2)}{\frac{2x^2+6x+1}{2x^2}\times 2x^2}$
$\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{\frac{16x^4+8}{16x^4}}+\frac{3x}{4x^2}}{\frac{2x^2+6x+1}{2x^2}}\times \frac{4x^2}{2x^2}$
$\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{1+\frac{8}{16x^4}}+\frac{3}{4x}}{1+\frac{6}{2x}+\frac{1}{2x^2}}\times \frac{4}{2}$
$=2$
證明：
$\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{4x^6-5x^5}-2x^3}{\sqrt[3]{27x^6+8x}}$
首先看分子如果消去$2x^3$什麼也得不到，分子分母同時乘以分子的共扼表達式
$\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{4x^6-5x^5}-2x^3}{\sqrt[3]{27x^6+8x}}\times \frac{\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3}{\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3}$
$\lim_{x\to \infty}\frac{(4x^6-5x^5)-(2x^3)^2}{\sqrt[3]{27x^6+8x}(\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3)}$
$\lim_{x\to \infty}\frac{-5x^5}{\sqrt[3]{27x^6+8x}(\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3)}$
接着處理分母：
$\frac{\sqrt[3]{27x^6+8x}}{3x^2}\times 3x^2$
即$\sqrt[3]{1+\frac{8}{27x^5}}\times (3x^2)$
另外一項$(\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3)$
這兒要注意首項是$4x^3$
$\frac{\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3}{4x^3}\times (4x^3)$
$(\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{5}{16x}}+\frac{1}{2})\times (4x^3)$
$\lim_{x\to \infty}\frac{-5x^5}{\sqrt[3]{27x^6+8x}(\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3)}$
$\lim_{x\to \infty}\frac{-5x^5}{(3x^2)(4x^3)}$
$=\frac{-5}{12}$

$x\to -\infty$時的有理函數的極限

證明：
$\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{4x^6+8}}{2x^3+6x+1}$
$\lim_{x\to -\infty}\frac{-2x^3}{2x^3}$
$=-1$
如果$x<0$，並且想寫$\sqrt[n]{x^{某次冪}}=x^m$，那麼需要在$x^m$之前加一個負號的唯一情形是，$n$是偶的而$m$是奇的

包含絕對值的函數的極限

可以將絕對值拆分爲左右兩邊分別討論下