普林斯頓微積分讀本筆記：第6章 求解微積分問題

使用定義求導

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

求：$f(x)=\frac{1}{x}$
$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}$
如果此時用$0$替換$h$，分母爲$0$失敗，把分子通分
$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{-h}{hx(x+h)}=\lim_{h\to 0}\frac{-1}{x(x+h)}$
接着用$0$替換$h$，得到$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
也就是$\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x^2}$

求：$f(x)=\sqrt{x}$
$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$
$=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \times \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$