普林斯頓微積分讀本筆記：第3章 極限導論

左極限和右極限

${\lim_{x \to 3^-}}h(x)$
${\lim_{x \to 3^+}}h(x)$
通常雙側極限在$x=a$存在，僅當左極限和右極限在$x=a$處都存在且相等。

垂直漸進線

$f$在$x=a$處有一條垂直漸進線，說得是，${\lim_{x \to a^+}}h(x)$ 和 ${\lim_{x \to a^-}}h(x)$ 其中至少有一個極限是$\infty$或$-\infty$。

三明治定理

又稱作夾逼定理，如果一個函數$f$被夾在函數$g$和$h$之間，當$x\to a$時，這兩個函數$g$和$h$都收斂於同一個極限$L$，那麼當$x\to a$時，$f$也收斂於極限$L$.
證明：${\lim_{x \to 0^+}}xsin(\frac{1}{x})=0$
$-1\le sin(\frac{1}{x})\le1$
$-x\le xsin(\frac{1}{x})\le x$
$\lim_{x \to 0^+}g(x)=\lim_{x\to 0^+}(-x)=0$
$\lim_{x \to 0^+}h(x)=\lim_{x\to 0^+}x=0$
因此，由於當$x\to 0^+$時，夾逼的函數$g(x)$和$h(x)$的值收斂於同一個數$0$。

證明：$\lim_{x\to +\infty} \frac{sin(x)}{x}=0$
$-1\le sin(x) \le 1$
$-\frac{1}{x}\le \frac{sin(x)}{x}\le \frac{1}{x}$
${\lim_{x\to +\infty}}-\frac{1}{x}=0$
${\lim_{x\to +\infty}}\frac{1}{x}=0$
必有$\lim_{x\to +\infty} \frac{sin(x)}{x}=0$

如果對於所有在$a$附近的$x$都有$g(x)\le f(x) \le h(x)$，且${\lim_{x \to a}g(x)}={\lim{x \to a}h(x)}=L$，則$\lim_{x\to a}f(x)=L$