層次分析法

這是第一次寫博客，經驗不足，希望各位看客多多包涵。
最近在準備數學建模比賽，希望把學到的東西都寫下來以便日後翻看。由於時間原因，只記錄自己認爲重要的一些部分。

層次分析法（AHP）的原理

在決策過程中往往面臨的是多個互相關聯互相約束的系統，如何在這個系統中選擇最佳的選項就是層次分析法所解決的問題。
運用層次分析法一般有四個步驟進行：
1、建立遞階層次此結構模型；
2、構造出各個層次中所有判斷矩陣；
3、層次單排序以及一致性檢驗；
4、層次總排序以及一致性檢驗。
下面分步驟說明各個實現過程。

遞階層次結構的建立

一般把決策問題分爲最高層、中間層以及最底層。
- 最高層：一般也叫目標層，往往是這個問題的最終追求目標，比如在選擇工作這個決策過程中最高層就是指的是工作的滿意程度。
- 中間層：指的是在實現目標過程中的中間環節，可以由若干個層次組成。比如找工作時的薪酬，福利，環境等等。
- 最底層：一般也叫方案層。找工作過程中就是可供選擇的工作方案。
以下是一個以選擇旅遊地爲目標的例子。
-

構造判斷矩陣

由於對於上一層某個目標，本層的重要性不太好衡量，於是引入相對的比重關係，比如對於對於上圖中C層的景色這個標準，P1，P2，P3 的權重兩兩比較就可以獲得一個對於C層景色的重要程度。就可以獲得一個判斷矩陣。

層次單排序以及一致性檢驗

一般來說構造出來的判斷矩陣都不滿足一致性，因此需要對他的一致性進行檢驗，看能否在允許的錯誤範圍內。
方法就是，求出矩陣的最大特徵根λmax 。
一致性的檢驗步驟如下：
(i)計算一致性指標CI

C I = λ m a x - n n - 1

(ii)查找相應的平均隨機一致性指標

RI ，對於階數爲n=1~9的可以參照下表（這個是已經由別人計算出來的）：

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
RI	0	0	0.58	0.9	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45

(iii)計算一致性比例CR ：

C R = C I R I

我們認爲當

CR<0.10 時，認爲矩陣的一致性是可以接受的，否則應該做適當修改。由特徵值我們獲得特徵向量，應當知道，一致性較好的矩陣每一列都是特徵向量，爲此我們還需要將獲得的特徵向量歸一化使得總和爲1，這樣就獲得了權重向量。

層次總排序以及一致性檢驗

以上我們完成了下一層所有元素依次對上一層每一個元素的權重。我們最終需要得到各個元素特別是最底層中各個方案對於目標的排序權重，從而進行方案選擇。

例如上圖。，最後我們還需要對層次總排序進行一致性檢驗。如果滿足CR<0.10 ，我們認爲結果較好。這樣我們就可以選擇權重最高的進行選擇。至此，層次分析法結束。