2019年寒假集訓-三分專題

問題 F: 曲線

題目描述

明明做作業的時候遇到了 n個二次函數 Si(x)= ax^2+bx+c他突發奇想設計了一個新的函數 F(x) = max{Si(x)},i=1...n


明明現在想求這個函數在 [0,1000][0,1000] 的最小值，要求精確到小數點後四位，四捨五入。

輸入

輸入包含 T 組數據，每組第一行一個整數 n； 

接下來 n行，每行 3個整數 a, b, c ，用來表示每個二次函數的 3個係數。注意：二次函數有可能退化成一次。 

輸出

每組數據輸出一行，表示新函數 F(x)的在區間 [0,1000]上的最小值。精確到小數點後四位，四捨五入。

樣例輸入

2
1
2 0 0
2
2 0 0
2 -4 2

樣例輸出

0.0000
0.5000

題解：

這道題是個單調的凹函數，所以肯定用三分

三分x,然後計算mid1和mid2取最小值，然後縮小區間

check函數用於比較mid1和mid2

#include<bits/stdc++.h>
const int MAXN=100005;
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int t,n;
struct node
{
    double a,b,c;
}xs[MAXN];
double check(double x)
{
    double ans=-INF;
    for(int i=1;i<=n;i++)
       ans=max(ans,xs[i].a*x*x+xs[i].b*x+xs[i].c);
    return ans;
}
int main()
{
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++)
           scanf("%lf%lf%lf",&xs[i].a,&xs[i].b,&xs[i].c);
        double l=0,r=1000;
        while(r-l>1e-11)
        {
            double mid1=l+(r-l)/3.0;
            double mid2=r-(r-l)/3.0;
            if(check(mid1)<check(mid2))
               r=mid2;
            else l=mid1;
        }
        printf("%.4lf\n",check(l));
    }
}

問題 I: 燈泡

題目描述

相比 wildleopard 的家，他的弟弟 mildleopard 比較窮。他的房子是狹窄的而且在他的房間裏面僅有一個燈泡。每天晚上，他徘徊在自己狹小的房子裏，思考如何賺更多的錢。有一天，他發現他的影子的長度隨着他在燈泡和牆壁之間走到時發生着變化。一個突然的想法出現在腦海裏，他想知道他的影子的最大長度。

 

輸入

輸入文件的第一行包含一個整數 TT ，表示測試數據的組數。

對於每組測試數據，僅一行，包含三個實數 HH，hh 和 DD，HH 表示燈泡的高度，hh 表示 mildleopard 的身高，DD 表示燈泡和牆的水平距離。

輸出

輸出文件共 T行，每組數據佔一行表示影子的最大長度，保留三位小數。

樣例輸入

3
2 1 0.5
2 0.5 3
4 3 4

樣例輸出

1.000
0.750
4.000

提示

數據範圍與提示

T≤100 ,10^−2≤H,h,D≤10^3，10−2≤H−h。

題解：

三分+相似三角形

首先，設地上影長爲x，牆上影長爲y

人走近時，x增加，y減少；走遠時x減少，y增加

這是個二次函數，所以用三分法纔是正確的

x=D-x(x爲人到左邊牆的距離) y=H-(H-h)*D/X(相似三角形可得出)

最後三分一下x，用以上式子check一下

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double H,h,D;
int t;
double check(double x)
{
    if(x<=h*D/H)return x+(H-(H-h)*D/(D-x));
    else return x-D+((D-x)*H/(H-h));
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lf%lf%lf",&H,&h,&D);
        double l=0,r=D;
        while(r-l>1e-11)
        {
            double mid1=l+(r-l)/3.0;
            double mid2=r-(r-l)/3.0;
            if(check(mid1)>check(mid2))r=mid2;
            else l=mid1;
        }
        printf("%.3lf\n",check(l));
    }
}