矩陣筆記

一，什麼是矩陣

簡單兩個例子：
$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}$
矩陣$A$中的其中一個元素可以用$a_{11}=1$表示

矩陣可以向上面表示成框起來的數字，排列的像個陣列

二，矩陣的基本運算

1，加減法

①加法：

相同行列數的矩陣對應元素直接相加即可

簡單舉個例子：

$a = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\4\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}6\\4\\7\end{bmatrix},a+b=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}\\a_{21}+b_{21}\\a_{31}+b_{31}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\7\\10\end{bmatrix}$

②減法

運算要求同上，只是變成相減運算而已

舉個簡單例子：
$a = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\4\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}6\\4\\7\end{bmatrix},a-b=\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}\\a_{21}-b_{21}\\a_{31}-b_{31}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5\\-1\\-3\end{bmatrix}$

2，數乘

一個矩陣與一個實數相乘，每個元素都與實數相乘

簡單舉個例子：
有$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}$
則$\lambda A=\begin{bmatrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}\\\lambda a_{21}&\lambda a_{22}\end{bmatrix}$

3，乘法

有$A_{m\times n}\times B_{p\times q}$
若$n=p$
則$A_{m\times n}\times B_{p\times q}=C_{m\times q}$

矩陣懲罰不滿足交換律，但是滿足結合律和分配律

• $(AB)C=A(BC)$
• $(A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC$
• $\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B),\lambda \in R$

4，轉置

簡單說就是行列互換

有$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}$
則$A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}$

轉職的運算規則

• $(A^T)T=A$
• $(AB)^T=B^TA^T$
• $(A+B)T=A^T+B^T$

三，四種特殊的矩陣

1，對稱矩陣

若一個矩陣轉職後等於原矩陣，這個矩陣就是對稱矩陣
對稱矩陣一定爲方陣

• 舉個例子：
  $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&5&6\\3&6&7\end{bmatrix}$

2，單位矩陣

單位矩陣是一個$n\times n$矩陣，主對角線元素爲1，其餘元素爲0

• 舉個例子：
  $A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

• 一個矩陣與單位矩陣相乘還是原來的矩陣：
  $A_{m\times n}I_{n\times n}=A_{m\times m}$
  $I_{m\times m}A_{m\times n}=A_{m\times n}$

3，逆矩陣

逆矩陣有點像以前接觸過的倒數，與原來的數相乘等於1

若$A$有逆矩陣，則逆矩陣記作$A^{-1}$

• $A$與$A^{-1}的乘積是單位矩陣$ :
  $AA^{-1}=A^{-1}A = I$

4，奇異矩陣

奇異矩陣是方陣的一種，對應的行列式計算爲0

四，初探矩陣與線性方程組

兩種基本的計算方法

• 消元法
• 矩陣向量法

五，再看矩陣與線性方程組

• 矩陣的初等變換$\implies$行階梯矩陣
• 矩陣的秩$\implies$滿秩矩陣
• 線性組合$\implies$線性相關

六，求解逆矩陣

• 方程組法
• 高斯-諾爾當消元法

七，消元矩陣與置換矩陣

• 消元矩陣
• 置換矩陣
• 用消元與置換矩陣計算逆矩陣

八，LU分解

求解輸出經常變動的大型方程組