一,什么是矩阵
简单两个例子:
A=[1324],B=[142536]
矩阵A中的其中一个元素可以用a11=1表示
矩阵可以向上面表示成框起来的数字,排列的像个阵列
二,矩阵的基本运算
1,加减法
①加法:
相同行列数的矩阵对应元素直接相加即可
简单举个例子:
a=⎣⎡134⎦⎤,b=⎣⎡647⎦⎤,a+b=⎣⎡a11+b11a21+b21a31+b31⎦⎤=⎣⎡7710⎦⎤
②减法
运算要求同上,只是变成相减运算而已
举个简单例子:
a=⎣⎡134⎦⎤,b=⎣⎡647⎦⎤,a−b=⎣⎡a11−b11a21−b21a31−b31⎦⎤=⎣⎡−5−1−3⎦⎤
2,数乘
一个矩阵与一个实数相乘,每个元素都与实数相乘
简单举个例子:
有A=[a11a21a12a22]
则λA=[λa11λa21λa12λa22]
3,乘法
有Am×n×Bp×q
若n=p
则Am×n×Bp×q=Cm×q
矩阵惩罚不满足交换律,但是满足结合律和分配律
- (AB)C=A(BC)
- (A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC
- λ(AB)=(λA)B=A(λB),λ∈R
4,转置
简单说就是行列互换
有A=[142536]
则AT=⎣⎡123456⎦⎤
转职的运算规则
- (AT)T=A
- (AB)T=BTAT
- (A+B)T=AT+BT
三,四种特殊的矩阵
1,对称矩阵
若一个矩阵转职后等于原矩阵,这个矩阵就是对称矩阵
对称矩阵一定为方阵
- 举个例子:
A=⎣⎡123256367⎦⎤
2,单位矩阵
单位矩阵是一个n×n矩阵,主对角线元素为1,其余元素为0
-
举个例子:
A=⎣⎡100010001⎦⎤
-
一个矩阵与单位矩阵相乘还是原来的矩阵:
Am×nIn×n=Am×m
Im×mAm×n=Am×n
3,逆矩阵
逆矩阵有点像以前接触过的倒数,与原来的数相乘等于1
若A有逆矩阵,则逆矩阵记作A−1
- A与A−1的乘积是单位矩阵 :
AA−1=A−1A=I
4,奇异矩阵
奇异矩阵是方阵的一种,对应的行列式计算为0
四,初探矩阵与线性方程组
两种基本的计算方法
五,再看矩阵与线性方程组
- 矩阵的初等变换⟹行阶梯矩阵
- 矩阵的秩⟹满秩矩阵
- 线性组合⟹线性相关
六,求解逆矩阵
七,消元矩阵与置换矩阵
八,LU分解
求解输出经常变动的大型方程组