【訓練題】航線設計 | 使用最長上升子序列(LIS)長度的O(nlogn)算法優化

【問題描述】
有一個國家被一條河劃分爲南北兩部分，在南岸和北岸總共有N對城鎮，每一城鎮在對岸都有唯一的友好城鎮。任何兩個城鎮都沒有相同的友好城鎮。每一對友好城鎮都希望有一條航線來往。於是他們向政府提出了申請。由於河終年有霧。政府決定不允許有任兩條航線交叉（如果兩條航線交叉，將有很大機會撞船）。

你的任務是寫一個程序來幫政府官員決定他們應撥款興建哪些航線以使得沒有出現交叉的航線最多。

【輸入格式】
第一行一個整數N，表示分佈在河兩岸的城鎮對數。接下來的N行每行有兩個由空格分隔的正數C，D (C、D<=10^9)，描述每一對友好城鎮沿着河岸與西邊境線的距離，C表示北岸城鎮的距離而D表示南岸城鎮的距離。在河的同一邊，任何兩個城鎮的位置都是不同的。

【輸出格式】
在安全條件下能夠開通的最大航線數目。

【輸入樣例】

7
22 4
2 6
10 3
15 12
9 8
17 17
4 2

【輸出樣例】

4

【數據範圍】
1<=N<=500000

題解：
O(n2)算法代碼：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,dp[500005]; //dp[i]:前i對城市可建立的最大航線數量 

struct info
{
    int A,B;
}a[500005];

bool cmp(info i,info j)
{
    return i.A<j.A;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a[i].A,&a[i].B);
    }
    sort(a+1,a+1+n,cmp);

    dp[1]=1;
    int ans=dp[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        int t=0;
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            if(a[j].B<a[i].B) t=max(t,dp[j]);
        }
        dp[i]=t+1;
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

優化：
O(nlogn)算法：

最長上升子序列nlogn算法 - mengxm
假設存在一個序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出來它的LIS長度爲5。
下面一步一步試着找出它。
我們定義一個序列B，然後令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。
此外，我們用一個變量Len來記錄現在最長算到多少了
首先，把d[1]有序地放到B裏，令B[1] = 2，就是說當只有1一個數字2的時候，長度爲1的LIS的最小末尾是2。這時Len=1
然後，把d[2]有序地放到B裏，令B[1] = 1，就是說長度爲1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，很容易理解吧。這時Len=1
接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是說長度爲2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候B[1..2] = 1, 5，Len＝2
再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因爲1小於3，長度爲1的LIS最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度爲2的LIS最小末尾是3，於是可以把5淘汰掉，這時候B[1..2] = 1, 3，Len = 2
繼續，d[5] = 6，它在3後面，因爲B[2] = 3, 而6在3後面，於是很容易可以推知B[3] = 6, 這時B[1..3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。
第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，於是我們就可以把6替換掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len繼續等於3
第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。於是B[4] = 8。Len變成4了
第8個, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len繼續增大，到5了。
最後一個, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之間，所以我們知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。
於是我們知道了LIS的長度爲5。
!!!!! 注意。這個1,3,4,7,9不是LIS，它只是存儲的對應長度LIS的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以一個一個地插入數據。雖然最後一個d[9] = 7更新進去對於這組數據沒有什麼意義，但是如果後面再出現兩個數字 8 和 9，那麼就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的長度爲6。
然後應該發現一件事情了：在B中插入數據是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分查找，將每一個數字的插入時間優化到O(logN)~於是算法的時間複雜度就降低到了O(NlogN)～！

代碼：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,s[500005]; //s[i]:存儲長度爲i的上升子序列的末尾元素的最小值

struct info
{
    int A,B;
}a[500005];

bool cmp(info i,info j)
{
    return i.A<j.A;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a[i].A,&a[i].B);
    }
    sort(a+1,a+1+n,cmp);
    int lenth=0,t; //lenth爲結果 
    s[++lenth]=a[1].B;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i].B>s[lenth])
        {
            s[++lenth]=a[i].B;
        }
        else
        {
            t=upper_bound(s+1,s+1+lenth,a[i].B)-s;
            s[t]=a[i].B;
        }
    }
    printf("%d\n",lenth);
    return 0;
}