1. 歐氏距離(Euclidean Distance)
歐氏距離是最易於理解的一種距離計算方法，源自歐氏空間中兩點間的距離公式。
(1)二維平面上兩點a(x1,y1)與b(x2,y2)間的歐氏距離：
(2)三維空間兩點a(x1,y1,z1)與b(x2,y2,z2)間的歐氏距離：
(3)兩個n維向量a(x11,x12,…,x1n)與 b(x21,x22,…,x2n)間的歐氏距離：
也可以用表示成向量運算的形式：
(4)Matlab計算歐氏距離
Matlab計算距離主要使用pdist函數。若X是一個M×N的矩陣，則pdist(X)將X矩陣M行的每一行作爲一個N維向量，然後計算這M個向量兩兩間的距離。
例子：計算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)兩兩間的歐式距離
X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]
D = pdist(X,'euclidean')
結果：
D =
1.0000 2.0000 2.2361
2. 曼哈頓距離(Manhattan Distance)
從名字就可以猜出這種距離的計算方法了。想象你在曼哈頓要從一個十字路口開車到另外一個十字路口，駕駛距離是兩點間的直線距離嗎？顯然不是，除非你能穿越大樓。實際駕駛距離就是這個“曼哈頓距離”。而這也是曼哈頓距離名稱的來源， 曼哈頓距離也稱爲城市街區距離(City Block distance)。
(1)二維平面兩點a(x1,y1)與b(x2,y2)間的曼哈頓距離
(2)兩個n維向量a(x11,x12,…,x1n)與 b(x21,x22,…,x2n)間的曼哈頓距離
(3) Matlab計算曼哈頓距離
例子：計算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)兩兩間的曼哈頓距離
X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]
D = pdist(X, 'cityblock')
結果：
D =
1 2 3
5. 標準化歐氏距離(Standardized Euclidean distance )
(1)標準歐氏距離的定義
標準化歐氏距離是針對簡單歐氏距離的缺點而作的一種改進方案。標準歐氏距離的思路：既然數據各維分量的分佈不一樣，好吧！那我先將各個分量都“標準化”到均值、方差相等吧。均值和方差標準化到多少呢？這裏先複習點統計學知識吧，假設樣本集X的均值(mean)爲m，標準差(standard deviation)爲s，那麼X的“標準化變量”表示爲：
而且標準化變量的數學期望爲0，方差爲1。因此樣本集的標準化過程(standardization)用公式描述就是：
標準化後的值 = ( 標準化前的值 － 分量的均值 ) /分量的標準差
經過簡單的推導就可以得到兩個n維向量a(x11,x12,…,x1n)與 b(x21,x22,…,x2n)間的標準化歐氏距離的公式：
如果將方差的倒數看成是一個權重，這個公式可以看成是一種加權歐氏距離(Weighted Euclidean distance)。
(2)Matlab計算標準化歐氏距離
例子：計算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)兩兩間的標準化歐氏距離 (假設兩個分量的標準差分別爲0.5和1)
X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]
D = pdist(X, 'seuclidean',[0.5,1])
結果：
D =
2.0000 2.0000 2.8284
7. 夾角餘弦(Cosine)
有沒有搞錯，又不是學幾何，怎麼扯到夾角餘弦了？各位看官稍安勿躁。幾何中夾角餘弦可用來衡量兩個向量方向的差異，機器學習中借用這一概念來衡量樣本向量之間的差異。
(1)在二維空間中向量A(x1,y1)與向量B(x2,y2)的夾角餘弦公式：
(2) 兩個n維樣本點a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夾角餘弦
類似的，對於兩個n維樣本點a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)，可以使用類似於夾角餘弦的概念來衡量它們間的相似程度。
即：
夾角餘弦取值範圍爲[-1,1]。夾角餘弦越大表示兩個向量的夾角越小，夾角餘弦越小表示兩向量的夾角越大。當兩個向量的方向重合時夾角餘弦取最大值1，當兩個向量的方向完全相反夾角餘弦取最小值-1。
夾角餘弦的具體應用可以參閱參考文獻[1]。
(3)Matlab計算夾角餘弦
例子：計算(1,0)、( 1,1.732)、( -1,0)兩兩間的夾角餘弦
X = [1 0 ; 1 1.732 ; -1 0]
D = 1- pdist(X, 'cosine') % Matlab中的pdist(X, 'cosine')得到的是1減夾角餘弦的值
結果：
D = 0.5000 -1.0000 -0.5000
