視覺SLAM總結-本質矩陣E分解

基礎知識：     

        實反對稱矩陣(real antisymmetric matrix)是一種反對稱矩陣，指歐氏空間的反對稱變換在標準正交基下的矩陣，即元素aij都是實數，並且aij=-aji(i，j=1，2，…)，n的n階矩陣A=(aij)。

實反對稱矩陣有如下性質：

性質1：奇數階反對稱矩陣的行列式值爲0。

性質2：當A爲n階實反對稱矩陣時，對於有XTAX =0，

性質3：實反對稱矩陣的特徵值是零或純虛數。

性質4：若A爲實反對稱矩陣，A的特徵值λ= bi(b≠0)所對應特徵向量α+βi中實部與虛部對應的向量α、β相互正交 [2]  。

性質5：若A爲n階實反對稱矩陣，則存在n階正交矩陣Γ，使得

式中，±ibk(k=1，2，…，n)是A的全部非零特徵值。k=1，2，…，r，A的秩r(A)=2r，矩陣(1)稱爲實反對稱矩陣A在正交相似下的標準形。

本質矩陣基本性質

結論：一個3×3的矩陣是本質矩陣的充要條件是它的奇異值中有兩個相等而第三個是0
證明：首先我們知道 E=[t]×R=SR

S是反對稱矩陣，根據反對稱矩陣的基本性質中，;其中Z

                                         

  在相差一個正負號的情況意義下，Z=diag(1,1,0)W，其中W

                                     

那麼
在相差一個常數意義下：

                                  
因此這個E矩陣可以分解爲
                                
這就證明  E擁有兩個相等的奇異值

反過來的是矩陣有奇異值中有兩個相等而第三個是0，可以分解爲SR

結論2：設E的SVD分解爲  ,利用E=SR有如下兩種分解（忽略正負號）：

                                                 or 

證明：

                                  

 有ZX=diag(1,1,0)，因X是旋轉矩陣：故推出所需要的,

由S=[t]×,  容易得St=0以及∥t∥=1對（兩個攝像機矩陣的基線的一種常用歸一化），因此,即矩陣U的最後一列，   應爲t的符號不確定，R矩陣有兩種可能，因此其分解有如下四種情況,見結論3

結論3：對於給定本質矩陣,和第一個攝像機矩陣P=[I|0],和第一個攝像機矩陣P'有下列四種選擇

1. ,

示意圖如下：

       對四個作做了說明，其 中證明了重構的點 X 同時在兩個攝像機的前面 的情形在四個可能解中僅爲一個.這樣一來只要用一個點作測試，驗證它是否在兩個攝像機前面，就足以從四個不同解中確定一個作爲攝像機矩陣 p'
 

參考：

1.2.MVG（計算機多視幾何）第二版

2.https://blog.csdn.net/weixin_44580210/article/details/90344511