MVG（second）讀書筆記-2D射影幾何和變換

最近剛買到Multiple View Geometry in Computer Vision 計算機中的多視幾何，它是三維重建和視覺SLAM的入門基礎的經典教材，內容比較豐富，自己看過一遍，挑一些自己的感興趣總結一下，如有錯誤，歡迎指出，非常感謝。

本部分包括2D射影幾何和變化，包括點和直線，二次曲線的齊次表示，還有等距變換，相似變換，仿射變換和射影變換等

1.點與線

點和直線齊次表示：

一個點的任何齊次矢量的表示形式是：

$x=\left (x_{1}, x_{2}, x_{3}\right )$

對應於歐式空間IR2的二維點是：

$x=\left (\frac{x_{1}}{x_{3}}, \frac{x_{2}}{x_{3}} \right )$

自由度：平面點有2個自由度

歐式空間IR2的一條直線I是：

一條直線任何齊次矢量的表示形式是：

$I=\left (a,b,c\right )$

自由度：平面直線有2個自由度

無窮原點和無窮線：

無窮遠原點： $x=\left (x_{1}, x_{2}, 0\right )$

無窮遠直線： $I=\left (0,0,1\right )$

歐式空間有限點的三維齊次表示加上無窮遠點組成向量空間，成爲二維射影空間IP2,有限點和無窮點在射影空間內部一樣的對待處理。

基本的性質：

結論1：點在x上直線上的充要條件是

$x^{^{T}}I=0$

結論2：兩條直線I和I'交點是

$x=I \otimes I^{^{'}}$

結論3：過兩點x和x'直線I是

$I=x \otimes x^{^{'}}$

證明比較簡單，在此就不證明啦

2.二次曲線

非齊次座標中，二次曲線的方程是：

$ax^{^{2}}+bxy+cy^{^{2}}+dx+ey+f=0$

這是個二次多項式，通過替換點，x=x1/x3,y=x1/x3,對點進行其齊次化得到爲：

$x^{^{T}}Cx=0$

其中： $x=\left (x_{1}, x_{2}, x_{3}\right )$

$C=\begin{bmatrix} a& b/2& d/2 \\ b/2& c& e/2 \\ d/2& e/2 & f \end{bmatrix}$

自由度：平面二次曲線有五個自由度

3.變換層次

射影映射（幾何定義）：是IP2到它自身的一種滿足下列條件的可逆映射h：三點x1、x2、x3共線，當且僅當h(x1)、h(x2)、h(x3)也共線；射影映射也稱爲保線變換、射影變換、單應。

射影h:IP2到IP2是射影變換的充要條件是存在一個3x3非奇異的矩陣H，使得IP2的任何一個用矢量x表示的點都滿足h(x)=Hx

1.等距變換

等距變換是平面IR2 的變換，它保持歐式距離不變。一個等距變換可以表示爲

$\begin{vmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ 1 \end{vmatrix}=\begin{bmatrix} \varepsilon cos\theta & - sin\theta & t_{x} \\ \varepsilon sin\theta & cos\theta & t_{y}\\ 0& 0 & 1\end{bmatrix}\begin{vmatrix} x\\ y\\ 1 \end{vmatrix}$

其中 $\varepsilon =\pm 1$ .當ε=1那麼該等距變換是保向的並且是旋轉、平移的複合歐式變換。如果ε=−1,那麼該等距變換是逆向的。歐式變換是剛體運動的模型。
平面歐式變換的簡介形式：
$x^{'}=H_{E}x=\begin{bmatrix} R &t\\ 0& 1\end{bmatrix}x$

其中R是正交矩陣,t爲二維平移矢量

不變量 長度、夾角、面積；

羣和定向 保向的等距變換形成一個羣，但逆向的不是。

平面歐式變換有三個自由度，可由兩組點對算出（一組點對可得到兩個方程）

2.相似變換

相似變換是等距變換和均勻縮放的複合，矩陣表示如下：
$\begin{vmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ 1 \end{vmatrix}=\begin{bmatrix} scos\theta & - ssin\theta & t_{x} \\ s sin\theta & scos\theta & t_{y}\\ 0& 0 & 1\end{bmatrix}\begin{vmatrix} x\\ y\\ 1 \end{vmatrix}$

分塊形式：

$x^{'}=H_{S}x=\begin{bmatrix} sR &t\\ 0& 1\end{bmatrix}x$

其中s表示均勻縮放。相似變換也叫等形變換，形狀保持不變。

不變量： 夾角、兩直線長度的比率、兩面積的比率

度量結構： 確定到只相差一個相似變換的結構

相似變換有四個自由度，比歐式變換多一個縮放自由度，相似變換可由兩組點對算出（一組點對可得到兩個方程）。

3.仿射變換

相似變換是非奇異變換和平移變換的複合，矩陣表示如下

$\begin{vmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ 1 \end{vmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} &a_{23}\\ 0& 0 & 1\end{bmatrix}\begin{vmatrix} x\\ y\\ 1 \end{vmatrix}$