/*
兩個瓶子裏都裝了n個糖果;從第一個瓶子拿的概率是p
當你再拿糖果的時候,發現瓶子空了
求這時候另外一個瓶子的剩餘的糖果的數量的期望
計算過程會造成上溢和下溢
用log就不會了
*/
#include<math.h>
#include<stdio.h>
double lognjie[400010];
double logC(int n,int m)
{
return lognjie[n]-lognjie[m]-lognjie[n-m];//c(n,m)=n!/((n-m)!*m!) log(c(n,m))=log(n!)-log(m!)-log((m-n)!)
}
int main()
{
int i,n,index=1;
double p,q;
lognjie[0]=0;
for(i=1;i<=400000;++i)
{
lognjie[i]=lognjie[i-1]+log(1.0*i);//log(n!)=log((n-1)!)+log(n)
}
while(scanf("%d%lf",&n,&p)!=EOF)
{
double ret=0;
q=1-p;
for(i=0;i<=n;++i)//第二個盒子裏邊拿了i個 另外一個盒子取了n+1次
{
ret+=(n-i)*(exp(logC(n+i,i)+(n+1)*log(1.0*p)+i*log(1.0*q))+exp(logC(n+i,i)+(n+1)*log(1.0*q)+i*log(1.0*p)));
}
printf("Case %d: %.6lf\n",index++,ret);
}
return 0;
}
/*
期望公式Ε=∑ P * N p爲概率 n爲數量
P=p*C(n,m)*pn*(1-p)m-n
c(m,n)=c(m-1,n)*m/(m-n)
概率
m=0 p^(n+1)
m=1 p^(n+1)q
m=2 p^(n+1)q^2
q的冪通過循環何以控制
p的還需要補充
*/
#include<math.h>
#include<stdio.h>
double pro(int n,double p)
{
double zhong=1,ret=n*p;
for(int m=1;m<=n;++m)//從第二個瓶子取m個
{
zhong*=p*(1-p)*(m+n)/m;
ret+=(n-m)*zhong;
ret*=p;
}
return ret;
}
int main()
{
int n,index=1;
double p;
while(~scanf("%d%lf",&n,&p))
{
double ret=pro(n,p)+pro(n,1-p);
printf("Case %d: %.6lf\n",index++,ret);
}
return 0;
}