[BZOJ 3994][SDOI 2015]約數個數 數學+反演

∑i=1n∑j=1nd(i,j)=∑i=1n∑j=1m⌊ni⌋∗⌊mj⌋,gcd(i,j)=1
主要就是這個公式吧,其他的都是很好寫的莫比烏斯反演,一股腦的推就好了.對於這個式子如果想要看嚴格的證明的話就去看po姐的博客吧,很好懂的,但是後來我想出來一個感性認識的,不過我覺得肯定會被打臉,沒事,我已經做好準備了
感性證明:
計算一個整數x的約數有多少個,我們可以這樣來算,把x因數分解:
x=p1a1∗p2a2∗p3a3.......
這樣x的約數個數就是(1+a1)(1+a2)(1+a3)……因爲對於x的每一個約數都可以用分解出來的素數和不同次方相乘得到,而每一個數都可以有ai+1種選擇.例如12=2^2 * 3,那麼12的約數就有
1*1=1
1*2=2
1*4=4
1*3=3
2*3=6
4*3=12
聯繫剛纔的性質可以很顯然的發現12的每一個約數都可以由兩個互質的數相成得到(假設1與所有數互質),因爲對於x因數分解出來的每一個因數都是兩兩互質的,所以我們可以枚舉互質的數,計算這個數可以在哪些數中間造成貢獻,即是上面的公式.
嚴格的證明的話還是%%po姐吧,我就YY一下

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define maxn 50021
#define LL long long
using namespace std;
int n,m,mu[maxn],vis[maxn],pri[maxn],cnt;
int f[maxn],g[maxn],T;
void pre(){
    mu[1]=1,f[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(!vis[i]){pri[++cnt]=i;mu[i]=-1,f[i]=2,g[i]=1;}
        for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<maxn;j++){
            vis[pri[j]*i]=1;
            mu[pri[j]*i]=-mu[i];
            g[pri[j]*i]=1;
            f[pri[j]*i]=f[i]*2;
            if(i%pri[j]==0){
                mu[i*pri[j]]=0;
                g[pri[j]*i]=g[i]+1;
                f[pri[j]*i]=f[i]/(g[i]+1)*(g[i]+2);
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=2;i<maxn;i++)f[i]+=f[i-1],mu[i]+=mu[i-1];
}
void solve(){
    LL ans=0;
    for(int j,i=1;i<=n;i=j+1){
        j=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=(LL)(mu[j]-mu[i-1])*f[n/i]*f[m/i];
    }
    printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
    pre();
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n>m)swap(n,m);
        solve();
    }
    return 0;
}