关于rank-one矩阵可对角化的充要条件
首先,回顾一下可对角化的定义
另外,这里的幂零矩阵指的就算Jordan块肩上的部分(对角线元素为0),矩阵分析中已证明这种矩阵的幂次方等于0,当幂指数大于某一个值的时候。
根据这里的描述,
rank-one矩阵AAA可对角化 ⇔tr(AAA)=0
证明:
←,显然 (还是多说一句,如果 ⇔tr(AAA)=0,说明特征值至少有一个不为0,而AAA是rank-one的,所以用Jordan标准型看,对角线元素只有一个非零值,且不存在rank>=2的Jordan块。即非对角线元素均为0,即,可对角化
→, rank-one矩阵可分解为: AAA=aaabbbH, 若AAA 可对角化,则对角线元素不全为0,注意到 tr(AAA)=tr(aaabbbH)=tr(bbbHaaa)=0
其中 bbbHaaa是一个复数,也可用反证法,若为0,则说明对角线元素全为0,与AAA可对角化矛盾