兔子 （dp）

兔子(rabbit)

10.26

第1,2個測試點:
O(n!). STL中的next_permutation()就可以得到這20分
第3,4個測試點:
O(n!)打表,O(1)回答. STL中的next_permutation()跑個幾分鐘就出來了
第5,6,7個測試點:
O(2n*n2)狀壓DP,f[S][i][0/1]表示已經使用了數字集合S中的數字,最後一個數字是i,最後一個數字比倒數第二個數字大/小的方案數.
第8,9個測試點:
定義f[i][j]表示長度爲i,第一個元素爲j,且第一個元素大於第二個元素的所有排列中,”抖動排列”的數目.g[i][j]表示長度爲i,第一個元素爲j,且第一個元素小於第二個元素的所有排列中,”抖動排列”的數目.考慮長度爲i,第一個元素爲j,且第一個元素大於第二個元素的一個排列,我們刪掉它的第一個元素,然後把其他所有大於i的元素都減1,可以得到一個1到i-1的排列,這個排列是第一個元素小於第二個元素的.我們枚舉刪掉第一個元素之後的新排列的第一個元素的大小,發現f[i][j]可以從g[i-1][1,2,3…(j-1)]轉移過來.g[i][j]的求法類似.
DP方程:
f[i][j]=g[i-1][1]+g[i-1][2]+g[i-1][3]+…+g[i-1][j-1]
g[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j+1]+…+f[i-1][i-1]
直接轉移,複雜度爲O(n3)
第10個測試點:
在第8,9個測試點的DP上加入前綴和優化即可.
注意模數的範圍是int範圍內,兩個int範圍內的數字相加可能會炸int,在第10個測試點中設置了這個坑點,增加AC此題的難度.

思路：
f[i][0/1] 表示前i個數1~i，偶數位置比奇數位置大（奇數位置比偶數位置大）的方案數，然後就考慮i，可以怎麼放進前i-1個數的排列中，枚舉放進的位置k，然後在i-1個數中選k-1個放在前面（組合數）再按照題意轉移（前後兩段）。（邊乘邊模呀~~~）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define LL long long
#define N 2010
using namespace std;

int n;
LL mod;
LL f[N][2], comb[N][N];

void init(){
    comb[0][0] = 1;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        comb[i][0] = 1;
        for(int j=1; j<=i; j++){
            comb[i][j] = (comb[i-1][j-1] + comb[i-1][j]) % mod;
        }
    }
}

int main(){
    freopen ("rabbit.in", "r", stdin);
    freopen ("rabbit.out", "w", stdout);
    cin >> n >> mod;
    init();
    f[0][1] = f[0][0] = 1;
    f[1][1] = f[1][0] = 1;
    for(int i=2; i<=n; i++){
        for(int k=1; k<=i; k++){
            if((k & 1) == 0) f[i][0] = (f[i][0] + f[k-1][0] * f[i-k][0] % mod * comb[i-1][k-1]) % mod;
            else f[i][1] = (f[i][1] + f[k-1][1] * f[i-k][0] % mod * comb[i-1][k-1]) % mod;
        }
    }
    LL ans = (f[n][0] + f[n][1]) % mod;
    cout << ans << endl;
}