第2章 隨機變量及其分佈
2.1 隨機變量
定義 1 設隨機試驗E的樣本空間S={e}。若對每個試驗結果e，都有確定的實數X(e)與之對應，則稱實值變量X(e)爲隨機變量，簡記爲X。
引入隨機變量後，隨機事件就可以用隨機變量的取值來表示了。
2.2 分佈函數
定義 2 設X爲隨機變量，對於任意實數x，令
F(x)=PX≤x
稱F(x)爲隨機變量X的分佈函數。
性質：
1. 取值範圍：[0,1]
2. 單調不減。
3. 右連續
4. 對任意實數
a,b(a<b) ,有
P{a<X≤b}=F(b)−F(a)
5. 對任意實數x，有
P{X=x}
2.3 離散型隨機變量及其概率分佈
定義 3 若隨機變量X只可能取有限個值或可列個值：x1,x2,...,xk,... ，則稱X爲離散型隨機變量。X取各個可能值的概率
pk=P{X=xk},k=1,2,3,...
稱爲離散型隨機變量X的概率分佈（或分佈律）。
2.4 常用的離散型分佈
2.4.1 兩點分佈
若隨機變量X的分佈律爲
P{X=1}=p,P{X=0}=q(0<q<1,p+q=1)
則稱X服從參數爲p的兩點分佈，或稱0-1分佈。
2.4.2 二項分佈
如果隨機變量X以P{X=k}=Cknpkqn−k,k=0,1,2,...,n 爲其概率分佈，則稱X服從參數爲n,p的二項分佈，記爲
X∼B(n,p)
當n比較大，p比較小（一般n≥10,p≤0.1 ）時，有
Cknpkqn−k≈e−λλkk!
式中，
λ=np,k=0,1,2,...,n
2.4.3 泊松分佈
若隨機變量X的分佈律爲
P{X=k}=e−λλkk!,k=0,1,2,...(其中λ>0爲常數)
則稱X服從參數爲
λ 的泊松分佈，記爲
X∼Π(λ)
2.4.4 超幾何分佈
設一批產品中有M件正品，N件次品。從中任意取n件，則取到的次品數X是一個離散型隨機變量，它的概率分佈爲
P{X=k}=CkNCn−kMCnM+N,k=0,1,...,l,l=min(n,N)
這個分佈稱爲超幾何分佈。
2.5 連續性隨機變量及其概率密度
定義 4設隨機變量X的分佈函數爲F(x)，若存在非負函數f(x)，使得對任意實數x，恆有
F(x)=∫−∞xf(t)dt
則稱X爲連續型隨機變量，稱函數f(x)爲隨機變量X的概率密度（或分佈密度）函數。
2.6 常用的連續型分佈
2.6.1 均勻分佈
若隨機變量X的概率密度爲
f(x)=⎧⎩⎨1b−a0,,a≤x≤b其他
則稱X在區間[a,b]上服從均勻分佈，簡記爲
X∼U[a,b]
2.6.2 指數分佈
若隨機變量X的概率密度爲
f(x)={λe−λx,0,x>0x≤0(其中λ>0爲常數）
則稱X服從參數爲
λ 的指數分佈。
2.6.3 威布爾分佈
設隨機變量X的概率密度爲
f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪βη(xη)β−1e−(xη)β,0,x>0x≤0
式中，
η,β 均爲正常數，則稱X服從參數爲
η,β 的威布爾分佈，記作
X∼W(η,β) ,
η稱爲尺度參數,β稱爲形狀參數
2.6.4 Γ 分佈
設隨機變量X的概率密度爲
f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪βαΓ(α)xα−1e−βx,0,x>0x≤0
式中，
α>0,β>0 均爲常數，
Γ(α)=∫+∞0tα−1e−tdt ,則稱X服從參數爲
α,β 的
Γ 分佈，記作
X∼Γ(α,β) 。
概率統計中不少常見的重要分佈只是Γ 分佈的特殊情形。當α=1 時，Γ 分佈即是參數爲β 的指數分佈；
當α=n2,β=12 時，Γ 分佈則是統計學中十分重要的χ2(n) 分佈；
2.6.5 正態分佈
設隨機變量X的概率密度爲
f(x)=1σ2π−−√exp[−(x−μ)22σ2],−∞<x<+∞
式中，
−∞<μ<+∞,σ>0 均爲常數，則稱X服從參數爲
μ,σ 的正態分佈，記作
X∼N(μ,σ2)
參數μ=0,σ=1 的正態分佈，即N(0,1)，稱爲標準正態分佈，其概率密度和分佈函數分別用ϕ(x)和Φ(x) 表示，即有
ϕ(x)=12π−−√exp(−x22)
Φ(x)=12π−−√∫x−∞exp(−t22)dt
Φ(x) 有以下性質：
(1)
Φ(0)=12
(2)
Φ(x)+Φ(−0x)=1,−∞<x<+∞
(3)
Φ(x) 在區間
(−∞,+∞) 上嚴格單調遞增。
容易證明，一般正態分佈
N(μ,σ2) 的分佈函數
F(x) 與標準正態分佈
N(0,1) 之間有下列關係：
F(x)=Φ(x−μσ),−∞<x<+∞
定義 5 設X是一個標準正態隨機變量，給定α,0<α<1 ，如果
P{X≤zα}=α
則稱
zα 爲標準正態分佈的（下側）
α 分位點（或
α 分位數），簡稱分位點，即
∫zα−∞12π−−√exp(−x22)dx=Φ(zα)=α
性質
(0<α<1) ：
(1)
zα=−z1−α ;
(2)
P{X>z1−α}=α ;
(3)
P{|X|>z1−α2}=α或P{−z1−α2≤X≤z1−α2}=1−α
