《线性代数》——读书笔记1

第一章 行列式

1.1 n阶行列式

1.1.1 排列与逆序

定义 1.1.1 由自然数1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n阶排列，记为j1,j2...jn 。按数字的自然排序由小到大的n阶排列123…n称为标准排列或自然排列。
定义 1.1.2 在一个排列中，若一个较大的数排在一个较小的数的前面，则称这两个数构成了一个逆序。一个排列中所有的逆序的总数称为这个排列的逆序数。用τ(j1,j2...jn) 表示排列j1,j2...jn 的逆序数，为偶，即为偶排列；为奇则为奇排列。
定义 1.1.3 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到一个新的排列，这种变换称为排列的一个对换。
定理 1.1.1 一次对换改变排列奇偶性。
推论 任何一个n阶排列都可以通过对换化成标准排列，并且所做对换的次数的奇偶性与该排列的奇偶性相同。

1.1.2 二阶与三阶行列式

D=∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣

上式称为二阶行列式。D中横写的称为行，竖写的称为列。D中共有两行两列，其中数aij 称为行列式的元素，它的第一个下标i表示这个元素所在的行，称为行指标；第二个下标j表示这个元素所在的列，称为列指标。
把行列式中从左上角到右下角的连线称为主对角线，从右上角到左下角的连线称为副对角线。

1.1.3 n阶行列式的定义

定义 1.1.4由n2 个元素排成n行、n列，以

∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2………a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣

记之，称其为n阶行列式，它代表一个数值。此数值是取自上式中不同行、不同列的n个元素a1j1a2j2...anjn 乘积的代数和，其中j1j2...jn 是数字1,2,…,n的某一个排列，故共有n!项。每项当j1j2...jn 为偶排列时取正号，当j1j2...jn 为奇排列时取负号。

D=∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2………a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣=∑j1j2...jn(−1)τ(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn

下三角型行列式的值等于主对角线上元素的乘积。

定理 1.1.2 n阶行列式也可定义为

D=∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2………a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣=∑i1i2...in(−1)τ(i1i2...in)ai11ai22...ainn

其中，∑i1i2...in 表示对1,2,…,n这n个数组成的所有排列i1i2...in 取和。

1.2 行列式的性质

性质 1 行列式与它的转置行列式相等，即D=DT 。
——说明行列式中行与列的地位是等同的，凡是对行成立的性质，对列也同样成立。
性质 2 如果行列式某一行（列）元素有公因数k，则k可以提到行列式符号外面。
推论如果行列式中某一行（列）元素全为零，那么行列式等于零
性质 3 如果行列式中的两行（列）互换，那么行列式只改变一个符号。
推论 1 若行列式中有两行（列）相同，则行列式的值为零。
推论 2 如果行列式中两行（列）的对应元素成比例，那么行列式的值为零。
性质 4 （拆项性质）如果行列式某行（列）的个元素都可以写成两数之和，例如aij=bij+cij(j=1,2,...,n) ，则此行列式等于两个行列式的和，即

∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮bi1+ci1⋮an1a12⋮bi2+ci2⋮an2………a1n⋮bin+cin⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮bi1⋮an1a12⋮bi2⋮an2………a1n⋮bin⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ci1⋮an1a12⋮ci2⋮an2………a1n⋮cin⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣

性质 5 （倍加性质）如果将行列式中某行（列）的各元素同乘一数k后，加到另一行（列）的各对应元素上，则行列式的值不变。

在行列式D=|aij|n 中，若aij=aji(i,j=1,2,...,n) ，则称D为对称行列式；若aij=−aji(i,j=1,2,...,n) ，则称D为反对称行列式。

1.3 行列式的展开与计算

1.3.1 行列式按一行（或一列）展开

定义 1.3.1 在n阶行列式D=|aij|n 中，划掉元素aij 所在的第i行和第j列后，留下的元素按照原来的顺序组成的n-1阶行列式称为元素aij 的余子式，记为Mij 。称

Aij=(−1)i+jMij

为元素aij 的代数余子式。
定理 1.3.1 n阶行列式D=|aij|n 等于它的任意一行（列）的个元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin(i=1,2,...,n)

或

D=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj(j=1,2,...,n)

定理 1.3.2 n阶行列式D=|aij|n 中每一行（列）的各个元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0，即

ak1Ai1+ak2Ai2+...+aknAin=0(i≠k)a1kA1j+a2kA2j+...+ankAnj=0(j≠k)

递推法 把行列式的计算化为形式相同而阶数较低的行列式的计算。另外还有数学归纳法（如证明范德蒙行列式）
范德蒙行列式：

Vn=∣∣∣∣∣∣∣∣1a1a21⋮an−111a2a22⋮an−12………⋱…1ana2n⋮an−1n∣∣∣∣∣∣∣∣=∏1≤j<i≤n(ai−aj)

1.3.2 拉普拉斯定理

定义 1.3.2 在n阶行列式D中，任取k行、k列(1≤k≤n−1) ，由这些行和列交叉处的元素按照原来的相对位置所构成的k阶行列式N，成为D的一个k阶子式。在行列式D中去掉k阶子式N所在的行和列以后，剩下的元素按原来的顺序构成的n-k阶行列式M，成为N的余子式。若N所在的行序数为i1,i2,...,ik ，所在的列序数为j1,j2,...,jk ，则称

A=(−1)i1+...+ik+j1+...+jkM

为N的代数余子式。
定理 1.3.3 在n阶行列式D中任意选取k行（列）(1≤k≤n−1) ，则由这k个行（列）中的一切k阶子式N1,N2,...,Nt 与它们所对应的代数余子式A1,A2,...,At 乘积之和等于D，即

D=N1A1+N2A2+...+NtAt=∑i=1tNiAi

其中t=Ckn

1.4 克莱姆法则

定理 1.4.1（克莱姆法则）如果线性方程组的系数行列式D≠0 ，则方程组有唯一解，并且解可以用行列式表示为

x1=D1D,x2=D2D,x3=D3D,...,xn=DnD

其中，Dj(j=1,2,...n)是把系数行列式D中第j列的元素用方程组的常数项代替后所得到的n阶行列式 （该定理证明时的充分性和必要性不是很懂，总是认为证明充分性没有用=-=）
定义 1.4.1 当线性方程组有段的常数项b1,b2,...,bn 不全为零时，称为非齐次线性方程组；当b1,b2,...,bn 全为零时，称为齐次线性方程组。
定理 1.4.2若齐次线性方程组

∑j=1naijxj=0(i=1,2,...,n)

的系数行列式D≠0 ，则它只有唯一的零解。
推论 若齐次线性方程组有非零解，则系数行列式D=0。

1.5 数域

定义 1.5.1设P是有一些数组成的集合，包含0和1。如果P中任意两个数的和、差、积、商仍在P中，那么称P是一个数域。
定理 1.5.1 设P为任何一个数域，则Q⊆P .