有一堆個數爲n(n>=2)的石子，遊戲雙方輪流取石子，規則如下：
1)先手不能在第一次把所有的石子取完，至少取1顆；
2)之後每次可以取的石子數至少爲1，至多爲對手剛取的石子數的2倍。
約定取走最後一個石子的人爲贏家，求必敗態。
結論：當n爲Fibonacci數的時候，必敗。
f[i]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……
用第二數學歸納法證明：
爲了方便，我們將n記爲f[i]。
1、當i=2時，先手只能取1顆，顯然必敗，結論成立。
2、假設當i<=k時，結論成立。
則當i=k+1時，f[i] = f[k]+f[k-1]。
則我們可以把這一堆石子看成兩堆，簡稱k堆和k-1堆。
（一定可以看成兩堆，因爲假如先手第一次取的石子數大於或等於f[k-1]，則後手可以直接取完f[k]，因爲f[k] < 2*f[k-1]）
對於k-1堆，由假設可知，不論先手怎樣取，後手總能取到最後一顆。下面我們分析一下後手最後取的石子數x的情況。
如果先手第一次取的石子數y>=f[k-1]/3，則這小堆所剩的石子數小於2y，即後手可以直接取完，此時x=f[k-1]-y，則x<=2/3*f[k-1]。
我們來比較一下2/3*f[k-1]與1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]與3*f[k]的大小，對兩值作差後不難得出，後者大。
所以我們得到，x<1/2*f[k]。
即後手取完k-1堆後，先手不能一下取完k堆，所以遊戲規則沒有改變，則由假設可知，對於k堆，後手仍能取到最後一顆，所以後手必勝。
即i=k+1時，結論依然成立。
那麼，當n不是Fibonacci數的時候，情況又是怎樣的呢？
這裏需要藉助“Zeckendorf定理”（齊肯多夫定理）：任何正整數可以表示爲若干個不連續的Fibonacci數之和。
關於這個定理的證明，感興趣的同學可以在網上搜索相關資料，這裏不再詳述。
分解的時候，要取儘量大的Fibonacci數。
比如分解85：85在55和89之間，於是可以寫成85=55+30，然後繼續分解30,30在21和34之間，所以可以寫成30=21+9，
依此類推，最後分解成85=55+21+8+1。
則我們可以把n寫成 n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）
我們令先手先取完f[ap]，即最小的這一堆。由於各個f之間不連續，則a(p-1) > ap + 1，則有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即後手只能取f[a(p-1)]這一堆，且不能一次取完。
此時後手相當於面臨這個子游戲（只有f[a(p-1)]這一堆石子，且後手先取）的必敗態，即先手一定可以取到這一堆的最後一顆石子。
同理可知，對於以後的每一堆，先手都可以取到這一堆的最後一顆石子，從而獲得遊戲的勝利。
