數學分析之實數

實數

一、分類

二、相關定義

2.1 實數定義

凡是能寫成$x=a_0\cdot a_1a_2…a_n…$十進無限小數形式的數叫實數。
正有限小數的十進無限小數：$x=a_0 \cdot a_1a_2…a_n=a_0 \cdot a_1a_2…a_{n-1}999…$
正整數的十進無限小數: $x=a_0=(a_0 -1)\cdot99…$

負有限小數的十進無限小數：$x=-a_0 \cdot a_1a_2…a_n=a_0 \cdot a_1a_2…a_{n-1}999…$
負整數的十進無限小數: $x=-a_0=-(a_0 -1)\cdot99…$

2.2 非負實數大小的定義

給定如下兩個非法實數：
$x=a_0\cdot a_1a_2…a_n…$
$y=b_0\cdot b_1b_2…b_n…$
其中$a_i,b_i$且$i=0,1,2…$爲非負整數
相等：若$a_k=b_k$,其中$k=0,1,2,…$, 則稱$x$等於$y$。記作：$x=y$

不等於:若$a_k=b_k$,其中$k=0,1,2,…,l$而$a_{l+1}>b_{l+1}$, 則稱$x$大於$y$或$y$小於$x$。記作：$x>y$ 或 $y<x$

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對於負實數$x, y$，按上述規定，如果有$-x=-y$，$-x>-y$，則稱$x=y$, $x<y$ 或 $y<x$

規定：任何非負實數大於負實數

2.3 不足近似和過剩近似

給定實數$x=a_0\cdot a_1a_2…a_n…$爲非負實數。稱下列有理數：

• $x_n=a_0\cdot a_1a_2…a_n$，爲$x$的$n$位不足近似
• $\overline {x_n}=x_n+\frac{1}{10^n}$，爲$x$的$n$位過剩近似

對於負實數$x=-a_0\cdot a_1a_2…a_n…$.稱下列有理數：

• $x_n=-a_0\cdot a_1a_2…a_n-\frac{1}{10^n}$，爲$x$的$n$位不足近似
• $\overline {x_n}=-a_0\cdot a_1a_2…a_n$，爲$x$的$n$位過剩近似

對於給定的實數x,y. 若 $x_n>\overline{y_n}$, 則 $x>y$

三、實數的性質

• 實數的四則運算是封閉的
• 實數集是有序集，任意兩個實數必有大於、等於或小於三種關係之一
• 實數大小具有傳遞性。$若a>b,b>c;則 a>c$
• 實數具有阿基米德性。$若a,b \in R,b>a>0，則存在正整數n,使得 na>b$
• 實數集具有稠密性。任何兩個不相等的實數之間必有另一個實數
• 實數集中的數與數軸上的點一一對應。

四 絕對值

4.1 定義

• $|a|=a,a \ge 0$
• $|a|=-a,a \lt 0$

絕對值幾何意義： 表示點a到原點的距離。在這個意義下絕對滿足的條件是：$|a|\ge0$

4.2 絕對值的性質

• $|a|=|-a|\ge0$;當且僅當$a=0$時等號成立
• $-|a|\le a \le |a|$
• $|a| \lt h ⇔ -h<a<h;|a|\le h ⇔-h \le a \le h;(h>0)$
• $|a|-|b|\le|a\pm b|\le |a|+|b|$
• $|ab|=|a||b|$
• $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|};(b \ne 0)$