費馬小定理及其逆命題的應用

• 費馬小定理：
• 當 n 爲整數，p 爲質數時，滿足 np−1 mod p=1
• 可以化成 np mod p=n ，只不過因爲有可能 n>p 而通常不使用這種形式。
• 費馬小定理的逆命題：
• 若 np mod p=n ， p 爲質數
• 這個命題是錯的，但是錯的概率較小。
• 所以我們可以利用這個命題來判斷 p 是否爲質數。
• 具體：
• 隨機選擇 n ，若 np mod p≠n 那麼 p 不爲質數。
• 但是因爲有可能出錯，所以我們試多幾次。如果每次結果都等於 n ，我們可以認爲 p 是一個質數。次數按 n 的範圍具體定義。試20次可以保證在int內不出錯。
• 時間複雜度：
• 由於有快速冪這玩意兒，所以每次判斷用時爲 log n 。就算要試多幾次，也比原來的 √n 算法好上不少。唯一的缺憾是這是一個僞判定方法。