- 首先我們瞭解一些概念。
- 遞推式：代入
fn−1 或/與fn−2 之類的數列前幾項，可以求出fn 的式子。 - 通項公式：代入
n 就可以求出fn 的式子。
- 下面請上我們的老朋友：
fn+2=fn+1+fn - 這個遞推式是不是很眼熟？斐波那契數列。
- 如果我們要求數列第
n 項應該怎麼做？ - 弱雞（我）：暴力遞推
- 稍微有趣：矩陣乘法+快速冪（具體做法可以參考我的這篇文章）
- 更加牛逼：用通項公式。
- 從數列推出通項公式，就需要我們今天講的內容：特徵方程。
- 從數列推出通項公式的要求：
- 1.已知數列的遞推式
- 2.已知數列的任意兩項
- 舉個栗子：
- 現在我們知道有一個數列的遞推式爲
an+2=5an+1−6an ，且知道a1=3 ，a2=8 ，需要求出它的通項公式。 - 將遞推式中
an+p 替換爲xp 後得到的方程，即爲特徵方程。 an+2=5an+1−6an >>x2=5x−6 an+2 >>x2 5an+1 >>5x −6an >>−6 - 解特徵方程，得
x1=2 ，x2=3 - 將特徵方程的兩個根分別作爲一個等比數列
fn=an−1 的a 也就是比值，我們可以得到兩個等比數列： fn=2n−1 gn=3n−1 - 這裏有一個性質，數列
fn 與gn 滿足遞推式時，數列k1fn+k2gn 同樣滿足遞推式。數列加法就是每項相加。 - 於是因爲
k1fn+k2gn 滿足遞推式an+2=5an+1−6an ，我們可以得到式子an=k12n−1+k23n−1 。 - 所以我們可以得到一個方程組：
n=1 時爲a1=k1+k2 n=2 時爲a2=2k1+3k2 - 又因爲我們知道
a1=3 ，a2=8 ，所以代入得方程組 3=k1+k2 8=2k1+3k2 - 解方程組，得
k1=1 ，k2=2 - 代入回原式子
an=k12n−1+k23n−1 - 得
an=2n−1+2⋅3n−1 - 此即爲遞推式爲
an+2=5an+1−6an 的數列的通項公式。
能不能簡潔一點？
