Miller-Rabin素數測試學習筆記

原文出處：http://www.cnblogs.com/vongang/archive/2012/03/15/2398626.html

好幾天前看了算導上的Miller-Rabin素數測試算法，今天正好總結一下，寫寫筆記。

　　說Miller-Rabin測試以前先說兩個比較高效的求a*b% n 和 a^b %n 的函數，這裏都是用到二進制思想，將b拆分成二進制，然後與a相加（相乘）

// a * b % n
//例如: b = 1011101那麼a * b mod n = (a * 1000000 mod n + a * 10000 mod n + a * 1000 mod n + a * 100 mod n + a * 1 mod n) mod n 

ll mod_mul(ll a, ll b, ll n) {
    ll res = 0;
    while(b) {
        if(b&1)    res = (res + a) % n;
        a = (a + a) % n;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

 

//a^b % n
//同理
ll mod_exp(ll a, ll b, ll n) {
    ll res = 1;
    while(b) {
        if(b&1)    res = mod_mul(res, a, n);
        a = mod_mul(a, a, n);
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

下面開始說Miller-Rabin測試：

　　費馬小定理：對於素數p和任意整數a，有a^p ≡ a(mod p)（同餘）。反過來，滿足a^p ≡ a(mod p)，p也幾乎一定是素數。

　　僞素數：如果n是一個正整數，如果存在和n互素的正整數a滿足 a^n-1 ≡ 1(mod n)，我們說n是基於a的僞素數。如果一個數是僞素數，那麼它幾乎肯定是素數。

　　Miller-Rabin測試：不斷選取不超過n-1的基b(s次)，計算是否每次都有b^n-1 ≡ 1(mod n)，若每次都成立則n是素數，否則爲合數。　

僞代碼:

Function Miller-Rabin (n : longint) :boolean;
begin
    for i := 1 to s do
    begin
        a := random(n - 2) + 2;
        if mod_exp(a, n-1, n) <> 1 then return false;
    end;
    return true;
end;

注意，MIller-Rabin測試是概率型的，不是確定型的，不過由於多次運行後出錯的概率非常小，所以實際應用還是可行的。（一次Miller-Rabin測試其成功的概率爲3/4）

 

前邊說的僞代碼實現很簡短，下面還有一個定理，能提高Miller測試的效率：

二次探測定理：

　　如果p是奇素數，則 x² ≡ 1(mod p)的解爲 x = 1 || x = p - 1(mod p);

可以利用二次探測定理在實現Miller-Rabin上添加一些細節，具體實現如下：

bool miller_rabin(ll n) {
    if(n == 2 || n == 3 || n == 5 || n == 7 || n == 11)    return true;
    if(n == 1 || !(n%2) || !(n%3) || !(n%5) || !(n%7) || !(n%11))    return false;

    ll x, pre, u;
    int i, j, k = 0;
    u = n - 1;    //要求x^u % n

    while(!(u&1)) {    //如果u爲偶數則u右移，用k記錄移位數
        k++; u >>= 1;
    }

    srand((ll)time(0));
    for(i = 0; i < S; ++i) {    //進行S次測試
        x = rand()%(n-2) + 2;    //在[2, n)中取隨機數
        if((x%n) == 0)    continue;

        x = mod_exp(x, u, n);    //先計算(x^u) % n，
        pre = x;
        for(j = 0; j < k; ++j) {    //把移位減掉的量補上，並在這地方加上二次探測
            x = mod_mul(x, x, n);
            if(x == 1 && pre != 1 && pre != n-1)    return false;    //二次探測定理，這裏如果x = 1則pre 必須等於 1，或則 n-1否則可以判斷不是素數
            pre = x;
        }
        if(x != 1)    return false;    //費馬小定理
    }
    return true;
}