如何用matlab 產生 均值爲0，方差爲5的高斯噪聲
2011-07-15 19:36
y=randn(1,2500);
y=y/std(y);
y=y-mean(y);
a=0;
b=5;
y=a+b*y;
就得到了 N ( 0, 5 ) 的高斯分佈序列。
R = normrnd(MU,SIGMA,m,n)
其中MU爲均值，SIGMA爲標準方差，m、n爲矩陣大小；
提問：（randn與normrnd(0,1)）有區別沒？ 高斯噪聲與高斯白噪聲的區別是什麼？
相關知識
在統計裏,我們把所要考察對象的全體叫做總體，其中每一個考察對象叫做個體,從整體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。
在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的衆數。
將一組數據按大小依次排列,把處在最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的平均數。
所謂“中位數”，就是把一組數據由低到高重新排列，用去掉兩端逐步接近正中心的辦法可以找出處在正中間位置的那個值，即中位數。
方差是一組數據中的每一個數與這組數據的平均數的差的平方的和再除以數據的個數。
即：[∑（Xn-X)^2]/n,(X表示這組數據的平均數。）
而標準方差就是方差的平方根。
因此，方差越大，標準方差也越大。
MATLAB中產生高斯白噪聲的兩個函數
MATLAB中產生高斯白噪聲非常方便，可以直接應用兩個函數，一個是WGN，另一個是AWGN。WGN用於產生高斯白噪聲，AWGN則用於在某一信號中加入高斯白噪聲。
- WGN：產生高斯白噪聲
y = wgn(m,n,p) 產生一個m行n列的高斯白噪聲的矩陣，p以dBW爲單位指定輸出噪聲的強度。
y = wgn(m,n,p,imp) 以歐姆(Ohm)爲單位指定負載阻抗。
y = wgn(m,n,p,imp,state) 重置RANDN的狀態。
在數值變量後還可附加一些標誌性參數：
y = wgn(…,POWERTYPE) 指定p的單位。POWERTYPE可以是’dBW’, ‘dBm’或’linear’。線性強度(linear power)以瓦特(Watt)爲單位。
y = wgn(…,OUTPUTTYPE) 指定輸出類型。OUTPUTTYPE可以是’real’或’complex’。
- AWGN：在某一信號中加入高斯白噪聲
y = awgn(x,SNR) 在信號x中加入高斯白噪聲。信噪比SNR以dB爲單位。x的強度假定爲0dBW。如果x是複數，就加入復噪聲。
y = awgn(x,SNR,SIGPOWER) 如果SIGPOWER是數值，則其代表以dBW爲單位的信號強度；如果SIGPOWER爲’measured’，則函數將在加入噪聲之前測定信號強度。
y = awgn(x,SNR,SIGPOWER,STATE) 重置RANDN的狀態。
y = awgn(…,POWERTYPE) 指定SNR和SIGPOWER的單位。POWERTYPE可以是’dB’或’linear’。如果POWERTYPE是’dB’，那麼SNR以dB爲單位，而SIGPOWER以dBW爲單位。如果POWERTYPE是’linear’，那麼SNR作爲比值來度量，而SIGPOWER以瓦特爲單位。
高斯噪聲是一種隨機噪聲，在任選瞬時中任取n個，其值按n個變數的高斯概率定律分佈。
注：
1,高斯噪聲完全由其時變平均值和兩瞬時的協方差函數來確定，若噪聲爲平穩的，則平均值與時間無關，而協方差函數則變成僅和所考慮的兩瞬時之差有關的相關函數，它在意義上等效於功率譜密度。
2,高斯噪聲可以是大量獨立的脈衝所產生的，從而在任何有限時間間隔內，這些脈衝中的每一個脈衝值與所有脈衝值的總和相比都可忽略不計。
3,實際上熱噪聲、散彈噪聲及量子噪聲都是高斯噪聲。
白噪聲是一種功率頻譜密度爲常數的隨機信號或隨機過程。換句話說，此信號在各個頻段上的功率是一樣的，由於白光是由各種頻率（顏色）的單色光混合而成，因而此信號的這種具有平坦功率譜的性質被稱作是“白色的”，此信號也因此被稱作白噪聲。相對的，其他不具有這一性質的噪聲信號被稱爲有色噪聲（功率譜密度隨頻率變化）。
理想的白噪聲具有無限帶寬，因而其能量是無限大，這在現實世界是不可能存在的。實際上，我們常常將有限帶寬的平整訊號視爲白噪音，因爲這讓我們在數學分析上更加方便。然而，白噪聲在數學處理上比較方便，因此它是系統分析的有力工具。一般，只要一個噪聲過程所具有的頻譜寬度遠遠大於它所作用系統的帶寬，並且在該帶寬中其頻譜密度基本上可以作爲常數來考慮，就可以把它作爲白噪聲來處理。例如，熱噪聲和散彈噪聲在很寬的頻率範圍內具有均勻的功率譜密度，通常可以認爲它們是白噪聲。
白噪聲的功率譜密度是一個常數。這是因爲：白噪聲的時域信號中任意兩個不同時刻是不相關的，因此，白噪聲的自相關函數爲衝擊函數，因此，白噪聲的功率譜密度爲常數。（自相關函數和功率譜密度是傅立葉變換對）。
當隨機的從高斯分佈中獲取採樣值時，採樣點所組成的隨機過程就是“高斯白噪聲”；同理，當隨機的從均勻分佈中獲取採樣值時，採樣點所組成的隨機過程就是“均勻白噪聲”。
“非白的高斯”噪聲——高斯色噪聲。這種噪聲其分佈是高斯的，但是它的頻譜不是一個常數，或者說，對高斯信號採樣的時候不是隨機採樣的，而是按照某種規律來採樣的。
仿真時經常採用高斯白噪聲是因爲實際系統（包括雷達和通信系統等大多數電子系統）中的主要噪聲來源是熱噪聲，而熱噪聲是典型的高斯白噪聲，高斯噪聲下的理想系統都是線性系統。
高斯白噪聲：如果一個噪聲，它的幅度分佈服從高斯分佈，而它的功率譜密度又是均勻分佈的，則稱它爲高斯白噪聲。
熱噪聲和散粒噪聲是高斯白噪聲。
所謂高斯白噪聲中的高斯是指概率分佈是正態函數，而白噪聲是指它的二階矩不相關，一階矩爲常數，是指先後信號在時間上的相關性。這是考查一個信號的兩個不同方面的問題。
時變信號，顧名思義，就是信號的幅度隨時間變化的信號，幅度不隨時間變化的信號，即幅度保持爲常數的信號叫時不變信號。高斯白噪聲是指信號中包含從負無窮到正無窮之間的所有頻率分量，且各頻率分量在信號中的權值相同。白光包含各個頻率成分的光，白噪聲這個名稱是由此由此而來的。它在任意時刻的幅度是隨機的，但在整體上滿足高斯分佈函數。時變信號的知識參考《信號與系統》，高斯白噪聲參考《通信原理》類書籍
Re:【請教】什麼是高斯白噪聲，有色噪聲，另外wden 中的scal是何意？
（1）帶通噪聲。帶通噪聲與白噪聲相對又叫有色噪聲，即在某個頻帶上信號的能量突然變大。這種噪聲的典型例子爲交流電噪聲，它的能量主要集中在50Hz左右。對這種噪聲的濾除可以先對語音信號進行加窗，然後再進行短時傅立葉變換並畫出頻譜圖。在頻譜圖上，我們可以看出該噪聲的能量主要集中在哪個頻帶上，得到此頻帶的上下限。根據此頻帶的上下限設計一個濾波器對語音信號進行濾波。一般情況下，該方法可以比較有效的去除帶通噪聲。
（2）衝擊噪聲。所謂衝擊噪聲就是語音信號中的能量在時域內突然變大。這種噪聲也很多，例如建築工地上打樁機發出的打樁聲，在語音信號中每隔一段時間就會出現一個能量峯值。對於這種噪聲的消除需要對語音信號進行加窗，再進行短時傅立葉變換畫出頻譜圖。在頻譜圖上對相應時間段上的語音信號的能量進行修改，即降低噪聲的能量。該降噪方法一般能取得較滿意的效果。
（3）白色噪聲。所謂白色噪聲就是在頻域上不存在信號能量的突然變大的頻帶，在時域上也找不到信號能量突然變大的時間段，即它在頻域和時域上的分佈是一致的 。對於標準白噪聲它的均值爲零，方差爲一常數。對於被這種噪聲污染的語音信號，既不能在某個頻帶上修改語音信號又不能在時域上某個時刻修改語音信號。使用上兩種降噪方法都很難達到令人滿意的效果。主要原因是：白噪聲的頻帶很寬幾乎佔據了整個頻域，它與語音信號重疊無法區分有用信號和噪聲；語音信號中的清音與白噪聲的性質差不多很難區分等。
wden 中的scal的意思是:定義所乘的閾值是否要重新調整:
.SCAL=’ONE’時,不用重新調整;
.SCAL=’SLN’時,根據第一層的係數進行一次噪聲層的估計來調整閾值
.SCAL=’MLN’時,在不同層估計噪聲層,以此來調整閾值
白噪聲\高斯噪聲\高斯白噪聲的區別?
白噪聲，就是說功率譜爲一常數；也就是說，其協方差函數在delay=0時不爲0，在delay不等於0時值爲零；換句話說，樣本點互不相關。（條件：零均值。）
所以，“白”與“不白”是和分佈沒有關係的。
當隨機的從高斯分佈中獲取採樣值時，採樣點所組成的隨機過程就是“高斯白噪聲”；同理，當隨機的從均勻分佈中獲取採樣值時，採樣點所組成的隨機過程就是“均勻白噪聲”。
那麼，是否有“非白的高斯”噪聲呢？答案是肯定的，這就是”高斯色噪聲“。這種噪聲其分佈是高斯的，但是它的頻譜不是一個常數，或者說，對高斯信號採樣的時候不是隨機採樣的，而是按照某種規律來採樣的。
相關討論：
1、白噪聲是指功率譜在整個頻域內爲常數的噪聲，其付氏反變換是單位衝擊函數的n倍（n取決於功率譜的大小），說明噪聲自相關函數在t=0時不爲零，其他時刻都爲0，自相關性最強。
高斯噪聲是一種隨機噪聲，其幅度的統計規律服從高斯分佈。
高斯白噪聲是幅度統計規律服從高斯分佈而功率譜爲常數的噪聲。如果在系統通帶內功率譜爲常數，成爲帶限白噪聲“高斯”與“白”沒有直接關係，有時人們還會提出高斯型噪聲，這指的是噪聲功率譜呈高斯分佈函數的形狀而已。
2、有一個問題我想提出來：
連續白噪聲和離散白噪聲序列的關係是什麼？它們之間不應該是簡單的採樣關係。因爲連續白噪聲的功率譜在整個頻率軸上爲常數，按照隨機信號採樣定理，對這樣的信號採樣，採樣後的序列的功率譜必然發生混疊，而且混疊過後的功率譜是什麼？應該是在整個頻率軸上都爲無窮大。這顯然不滿足離散白噪聲序列的定義。
那離散白噪聲序列跟連續白噪聲有何關係？我覺得是對帶限的連續白噪聲進行採樣後得到的，這個帶限的連續白噪聲信號的帶寬剛好滿足Nyquist抽樣定理。這樣採樣過後的信號的功率譜就能滿足定義了。
答：連續白噪聲是離散白噪聲在採樣間隔趨近於零的極限。對帶限的連續白噪聲按照Nyquist採樣定理進行採樣就得到信息不損失的白噪聲序列，當連續白噪聲的帶寬趨近於無窮大時，採樣率也趨近於無窮大（採樣間隔趨近於零），此時不會發生頻譜混疊。用極限的概念理解二者的關係就很清楚了。需要說明的是，任何實際系統都是工作於一定頻帶範圍內的，帶寬爲無窮大的信號僅僅存在於理論分析中，在實際系統中找不到。
而對於限帶白噪聲，我認爲既然考慮採樣定理，那麼連續的限帶白噪聲可以利用採樣函數作爲正交基的係數來表示，這些係數就是對應的噪聲採樣值，這個過程就是連續噪聲的離散化過程，以上分析也是分析連續信道容量使用的方法。
那麼在數字通信中我們討論的噪聲實際就是這些離散的以採樣函數爲正交基的係數（即噪聲採樣值），這時分析這些噪聲採樣值可知相關函數就是 N0×delta(n)，這裏delta(n)是離散的衝激函數。也即功率爲N0×delta(0)＝N0爲有限值。以上分析具體可以參考John Proakis的一書。
有一個概念錯誤需要指出：“高斯白噪聲的幅度服從高斯分佈”的說法是錯誤的，見下分析。
另外，還必須區分高斯噪聲和白噪聲兩個不同的概念。高斯噪聲是指噪聲的概率密度函數服從高斯分佈，白噪聲是指噪聲的任意兩個採樣樣本之間不相關，兩者描述的角度不同。白噪聲不必服從高斯分佈，高斯分佈的噪聲不一定是白噪聲。當然，實際系統中的熱噪聲是我們一般所說的白噪聲的主要來源，它是服從高斯分佈的，但一般具有有限的帶寬，即常說的窄帶白噪聲，嚴格意義上它不是白噪聲。
信號中高斯白噪聲在頻域中是否仍爲高斯白噪聲？謝謝。
嚴格來說，你這種提問的方法是有問題的，因爲白噪聲從定義上說就是指隨機序列在時間上不相關。問題應該這樣問：高斯白噪聲序列變換到頻域後是否仍然不相關？由於傅立葉變換是一種線性變換，高斯白噪聲序列變換到頻域後肯定服從高斯分佈，而且仍然不相關。因爲對一個滿秩矩陣進行正交變換（傅立葉變換是一種正交變換）得到的矩陣仍然是滿秩矩陣。
當然，以上說法只在時間無窮的意義上是正確的。對任何有限點的實際序列，在相關的意義上看，即使用循環相關，得到的也是週期性相關函數，所以嚴格意義上不能稱爲白噪聲；在分佈特性上看，根據大數定理，只有時間趨於無窮時，一個序列的概率密度函數才能真正服從某一分佈。從一個服從高斯分佈的無限長序列中截取一段（時間加窗），理論上會導致其失去嚴格的高斯分佈特性。但是，從實際應用的角度，我們一般並不從理論上這樣較真，總是在背景噪聲是高斯白噪聲這樣的前提下推導公式，預測系統在任意時刻（無窮時間上的一個時刻）的性能，信號處理時的有限點高斯白噪聲樣本雖然從嚴格理論意義上看已不是高斯白噪聲，但還是把它當作高斯白噪聲來處理。這樣做的結果是，系統的整體性能在某一時刻可能與理論公式推導的性能有出入，但在無限時間的意義上看，系統性能會趨於理論分析結果。也是基於這一思想，我們經常用Monte-Carlo仿真預測系統的性能。
一維(實數)高斯白噪聲的幅度是服從高斯分佈的。只有二維的(複數)高斯白噪聲的幅值是服從瑞利分佈的。更高維的高斯白噪聲的幅值則是服從X^2分佈的。
錯誤！什麼叫信號的幅度？幅度就是實信號的絕對值和覆信號的模。因此，即使是一維的高斯白噪聲，其幅度也不會服從高斯分佈，而應該服從瑞利分佈。二維不相關的復高斯白噪聲包絡服從指數分佈（X^2分佈的自由度爲2的特例）。n個不相關的復高斯白噪聲序列疊加後的覆信號包絡服從自由度爲2n的X^2分佈。這些在教科書上寫得很清楚。
一個總結：
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高斯分佈隨機變量的絕對值的分佈既不是高斯分佈，也不是瑞利分佈（見附件）；高斯分佈隨機變量的平方服從自由度爲1的(X2)分佈；實部和虛部均服從高斯分佈且統計獨立的復隨機變量的模服從瑞利分佈；實部和虛部均服從高斯分佈且統計獨立的復隨機變量的模的平方服從指數分佈（或自由度爲2的(X2)分佈）；N個實部和虛部均服從高斯分佈且統計獨立的復隨機變量的模的平方和服從自由度爲2N的(X2)分佈。具體推導見附件。
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從概念上，高斯分佈隨機變量不存在“模”的說法，只能說“絕對值”（屬於隨機變量的函數）。在雷達領域，經常說“高斯噪聲中信號的模服從瑞利分佈”，這句話隱含着雷達信號包含I、Q兩個正交通道。
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高斯噪聲和白噪聲是兩個不同的概念。
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由於傅立葉變換是一種線性運算，高斯分佈隨機變量樣本的傅立葉變換是存在的，而且仍然是高斯分佈。但某一個隨便變量樣本的傅立葉變換不能代表隨機序列的性質，描述隨機信號的頻率特性要用功率譜密度，也就是隨機信號的相關函數的傅立葉變換。
AWGN：加性高斯白噪聲 （Additive White Gaussian Noise）是指:
加性高斯白噪聲（AWGN）從統計上而言是隨機無線噪聲，其特點是其通信信道上的信號分佈在很寬的頻帶範圍內。