功率譜的理解

下面的matlab程序分別使用週期圖法、相關函數法以及AR譜方法計算信號的功率譜。

% power spectrum estimated
clear all;
clc;
close all;

Fs=1000;       % 採樣頻率
nfft = 1024;   % fft計算點數

%產生含有噪聲的序列
n=0:1/Fs:1;
xn=cos(2*pi*100*n)+3*cos(2*pi*200*n)+(2*randn(size(n)));
subplot(2,2,1);plot(xn);title('加噪信號');grid on

% 週期圖法
window=boxcar(length(xn)); %矩形窗
[psd1,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs); %直接法
psd1 = psd1 / max(psd1);
subplot(2,2,2);plot(f,10*log10(psd1+0.000001));title('週期圖法');grid on

% 自相關法
cxn=xcorr(xn,'unbiased'); %計算序列的自相關函數
CXk=fft(cxn,nfft);
psd2=abs(CXk);
index=0:round(nfft/2-1);
k=index*Fs/nfft;
psd2 = psd2 / max(psd2);
psd2=10*log10(psd2(index+1)+0.000001);
subplot(2,2,3);plot(k,psd2);title('自相關法');grid on

% AR譜
psd3 = pyulear(xn, Fs, nfft); 
psd3=psd3/max(psd3);
psd3 = psd3 / max(psd3);
index=0:round(nfft/2-1);
psd3=10*log10(psd3(index+1)+0.000001);
subplot(2,2,4);plot(k, psd3);title('AR譜估計');grid on;

現在就此來說是關於功率譜的幾點理解：

1. 功率譜的數據都是相對值，他無法給出信號的實際絕對幅值，一般只要看峯值之間的比值就行了，也可以對數據歸一化

2. 功率譜中的峯值代表的是信號中的週期成分，隱含的週期信號能量要比隨機信號大（這個一般能理解的）。比如，上面xn是

   xn=cos(2*pi*100*n)+3*cos(2*pi*200*n)+(2*randn(size(n)));
   

   其週期包括200Hz及100Hz，200Hz的幅值比100Hz大，再看功率譜圖中，清晰的體現了信號中含有200Hz和100Hz的信號。

3. 直接法又稱週期圖法，它是把隨機序列x(n)的N個觀測數據視爲一能量有限的序列，直接計算x(n)的離散傅立葉變換，得X(k)，然後再取其幅值的平方，併除以N，作爲序列x(n)真實功率譜的估計

4. 間接法先由序列x(n)估計出自相關函數R(n)，然後對R(n)進行傅立葉變換，便得到x(n)的功率譜估計

5. 直接採用平均週期圖法求功率譜時，功率普形狀呈鋸齒形，譜峯點的準確位置不大好定。於是可以採用其他的方法對譜進行平滑操作，平滑化，僅僅是爲了使圖形光滑，並不會使得波的本質受到歪曲和畸變。反過來說，由於不純的東西去掉了，本質的東西必然會更加顯示出來！平滑化的程度可以根據所分析的信號，選擇合理的窗函數和帶寬！

6. 平均週期圖法和其他方法求出的結果，參數條件取得一樣的話，可以得到完全相同的結果。