【陣列信號處理】矩陣代數基礎知識總結

一：奇異矩陣和非奇異矩陣

奇異矩陣就是行列式爲 0 的矩陣（必須是方陣纔可談奇異與非奇異），也就是不可逆矩陣。
非奇異矩陣就是行列式不爲 0 的矩陣，也就是可逆矩陣。

二、Matlab中的轉置與共軛轉置

matlab默認的矩陣轉置是共軛轉置，是對複數進行操作的。

求共軛轉置矩陣的指令爲A'，即共軛轉置。

求非共軛轉置矩陣的指令爲A.'，相當於conj(A')，即轉置。conj(A')意思時，先A'共軛轉置，再取共軛，兩次共軛抵消。

當A爲實數矩陣時，A'和A.'沒有區別，但當A是複數矩陣時，就會有區別，A.'相當於conj(A')。一般來說，沒有特殊的要求的話，對複數的轉置操作都是用A',即共軛轉置，因爲共軛轉置更加自然，對於複數做內積，是必須要共軛轉置。

% 當A爲實數矩陣時，A'和A.'沒有區別
>> A = [ 1 2; 3 4];
>> A'  % 共軛轉置
ans =
     1     3
     2     4

>> A = [ 1 2; 3 4];
>> A.' % 轉置
ans =
     1     3
     2     4

% 當A爲複數矩陣時，A'和A.'有區別
>> A = [ 1+2i 2+2i; 3+2i 4+2i];
>> A' % 共軛轉置
ans =
  1 - 2i  3 - 2i %共軛轉置不僅專置了，而且複數符號i前的運算符還取共軛了
  2 - 2i  4 - 2i

>> A = [ 1+2i 2+2i; 3+2i 4+2i];
>> A.'  % 轉置
ans =
  1 + 2i  3 + 2i
  2 + 2i  4 + 2i

% conj運算符作用是“取複共軛"
>> A = [ 1+2i 2+2i; 3+2i 4+2i];
>> conj(A')  % 共軛轉置再取複共軛，相當於轉置
ans =
  1 + 2i  3 + 2i
  2 + 2i  4 + 2i

>> A = [ 1+2i 2+2i; 3+2i 4+2i];
>> conj(A)   % 取複共軛
ans =
  1 - 2i  3 - 2i
  2 - 2i  4 - 2i

【補充】數學中的複共軛

對每個元素取複共軛,，數學符號：*    ,相當於matlab中conj()
對矩陣轉置，數學符號：T                   ,相當於matlab中A.'
對矩陣共軛轉置，數學符號： H          ,相當於matlab中A'

三、數學中 arg min的意思

數學中 arg min的意思：arg min 就是使後面這個式子達到最小值時的x，t的取值。

1、其中arg min是元素（變元）的英文縮寫。

比如：函數 cos(x) 在 ±π、±3π、±5π、……處取得最小值（-1），則 argmin cos(x) = {±π, ±3π, ±5π, ...}。如果函數 f(x) 只在一處取得其最小值，則 argmin f(x) 爲單點集，比如 argmin (x - 4)^2 = 4。

2、arg的意思：argument of a complex number 複數的輻角

比如：z = r*(cosθ + i sinθ)

r是z的模，即：r = |z|;

θ是z的輻角，記作：θ = arg(z)

任意一個不爲零的複數z=a+bi的輻角有無限多個值，且這些值相差2π的整數倍。

把適合於-π<θ≤π的輻角θ的值，叫做輻角的主值，記作argz。輻角的主值是唯一的。且有arg（z）=Arg（z）+2kπ。