在數理統計學中，似然函數是一種關於統計模型中的參數的函數，表示模型參數中的似然性。似然函數在統計推斷中有重大作用，如在最大似然估計和費雪信息之中的應用等等。“似然性”與“或然性”或“概率”意思相近，都是指某種事件發生的可能性，但是在統計學中，“似然性”和“或然性”或“概率”又有明確的區分。概率用於在已知一些參數的情況下，預測接下來的觀測所得到的結果，而似然性則是用於在已知某些觀測所得到的結果時，對有關事物的性質的參數進行估計。
在這種意義上，似然函數可以理解爲條件概率的逆反。在已知某個參數B時，事件A會發生的概率寫作：
利用貝葉斯定理，
因此，我們可以反過來構造表示似然性的方法：已知有事件A發生，運用似然函數
，我們估計參數B的可能性。形式上，似然函數也是一種條件概率函數，但我們關注的變量改變了：
注意到這裏並不要求似然函數滿足歸一性：
。一個似然函數乘以一個正的常數之後仍然是似然函數。對所有
，都可以有似然函數：
例子
考慮投擲一枚硬幣的實驗。通常來說，已知投出的硬幣正面朝上和反面朝上的概率各自是
，便可以知道投擲若干次後出現各種結果的可能性。比如說，投兩次都是正面朝上的概率是0.25。用條件概率表示，就是：
其中H表示正面朝上。
在統計學中，我們關心的是在已知一系列投擲的結果時，關於硬幣投擲時正面朝上的可能性的信息。
我們可以建立一個統計模型：假設硬幣投出時會有
的概率正面朝上，而有
的概率反面朝上。
這時，條件概率可以改寫成似然函數：
也就是說，對於取定的似然函數，在觀測到兩次投擲都是正面朝上時， 的似然性是0.25（這並不表示當觀測到兩次正面朝上時 的概率是0.25）。
如果考慮
，那麼似然函數的值也會改變。
注意到似然函數的值變大了。
這說明，如果參數 的取值變成0.6的話，結果觀測到連續兩次正面朝上的概率要比假設 時更大。也就是說，參數 取成0.6
要比取成0.5 更有說服力，更爲“合理”。總之，似然函數的重要性不是它的具體取值，而是當參數變化時函數到底變小還是變大。對同一個似然函數，如果存在一個參數值，使得它的函數值達到最大的話，那麼這個值就是最爲“合理”的參數值。
在這個例子中，似然函數實際上等於：
-
![L(p_{H}=\theta \mid {\mbox{HH}})=P({\mbox{HH}}\mid p_{H}=\theta )=\theta ^{2}]()
， 其中![0\leq p_{H}\leq 1]()
。
， 其中
。
如果取
，那麼似然函數達到最大值1。也就是說，當連續觀測到兩次正面朝上時，假設硬幣投擲時正面朝上的概率爲1是最合理的。
類似地，如果觀測到的是三次投擲硬幣，頭兩次正面朝上，第三次反面朝上，那麼似然函數將會是：
-
![L(p_{H}=\theta \mid {\mbox{HHT}})=P({\mbox{HHT}}\mid p_{H}=\theta )=\theta ^{2}(1-\theta )]()
， 其中T表示反面朝上，![0\leq p_{H}\leq 1]()
。
， 其中T表示反面朝上，
這時候，似然函數的最大值將會在
的時候取到。也就是說，當觀測到三次投擲中前兩次正面朝上而後一次反面朝上時，估計硬幣投擲時正面朝上的概率是最合理的。
應用
最大似然估計
最大似然估計是似然函數最初也是最自然的應用。上文已經提到，似然函數取得最大值表示相應的參數能夠使得統計模型最爲合理。從這樣一個想法出發，最大似然估計的做法是：首先選取似然函數（一般是概率密度函數或概率質量函數），整理之後求最大值。實際應用中一般會取似然函數的對數作爲求最大值的函數，這樣求出的最大值和直接求最大值得到的結果是相同的。似然函數的最大值不一定唯一，也不一定存在。與矩法估計比較，最大似然估計的精確度較高，信息損失較少，但計算量較大。
似然比檢驗
似然比檢驗是利用似然函數來檢測某個假設（或限制）是否有效的一種檢驗。一般情況下，要檢測某個附加的參數限制是否是正確的，可以將加入附加限制條件的較複雜模型的似然函數最大值與之前的較簡單模型的似然函數最大值進行比較。如果參數限制是正確的，那麼加入這樣一個參數應當不會造成似然函數最大值的大幅變動。一般使用兩者的比例來進行比較，這個比值是卡方分配。
尼曼-皮爾森引理說明，似然比檢驗是所有具有同等顯著性差異的檢驗中最有統計效力的檢驗。
參考來源
- Stephen M. Stigler. Francis Ysidro Edgeworth, Statistician. Journal of the Royal Statistical Society. Series A (General) 141 (3). 1978: 287–322. Stable URL: http://www.jstor.org/stable/2344804
- Stephen Stigler. The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. Harvard University Press. ISBN 0-674-40340-1.
- Stephen Stigler. Statistics on the Table: The History of Statistical Concepts and Methods. Harvard University Press. ISBN 0-674-83601-4.
- Anders Hald. On the History of Maximum Likelihood in Relation to Inverse Probability and Least Squares. Statistical Science 14 (2). 1999.5: 214–222. Stable URL: http://www.jstor.org/stable/2676741
- Hald, A. A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930. New York: Wiley. 1998.