HDU - 2855 Fibonacci Check-up 斐波那契矩陣

 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2855

對於任意的n和m，求解(∑CknF(k))%m(∑CnkF(k))%m的結果。

F爲斐波那契數列的第k項,F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n−1)+f(n−2),n>=2。

可以很容易看到 Cn,k部分是二項式展開的結果】

二項式定理：(1+x)n=C0nx0+C1nx1+...Cnnxn(1+x)n=Cn0x0+Cn1x1+...Cnnxn。

而要求的是 Cn0F0+Cn1F1+...CnnFn。

關鍵是要能想到斐波那契數列的第n項Fn 可以看作是 斐波那契矩陣的 n次方 【 1 1 】^n

       【1 0 】

因此 根據二項式定理，要求的答案可以看錯是 （1+x）^n,其中1是單位矩陣E，x是斐波那契矩陣Fi

也就是求【E+Fi】^n

矩陣快速冪即可

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N = 2;
long long  mod;
struct Matrix
{
    long long mat[N][N];
} ;
Matrix unit_matrix ;
long long n ;

const int k=2;
Matrix mul(Matrix a, Matrix b) //矩陣相乘
{
    Matrix res;
    for(int i = 0; i < k; i++)
        for(int j = 0; j < k; j++)
        {
            res.mat[i][j] = 0;
            for(int t = 0; t < k; t++)
            {
                res.mat[i][j] += a.mat[i][t] * b.mat[t][j];
                res.mat[i][j] %= mod;
            }
        }

    return res;
}

Matrix pow_matrix(Matrix a, long long m)  //矩陣快速冪
{
    Matrix res = unit_matrix;
    while(m != 0)
    {
        if(m & 1)
            res = mul(res, a);
        a = mul(a, a);
        m >>= 1;
    }
    return res;
}
Matrix get(long long n)
{
    Matrix ori;

  memset(  ori.mat ,0,sizeof ori.mat);
    ori.mat[0][0]=1;
    ori.mat[0][1]=0;
    ori.mat[1][0]=0;
    ori.mat[1][1]=1;

    ori.mat[0][0]+=1;
    ori.mat[0][1]+=1;
    ori.mat[1][0]+=1;
    ori.mat[1][1]+=0;
    Matrix ans = pow_matrix(ori, n);
    return ans;
}
int main()
{
    int  i, j, t;
    //初始化單位矩陣            //類似快速冪的 ans=1； 如今是ans=單位矩陣
    for(i = 0; i < k; i++)
        for(j = 0; j < k; j++)
            unit_matrix.mat[i][j] = 0;
    for(i = 0; i < k; i++)  unit_matrix.mat[i][i] = 1;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&mod);
        Matrix ans=get(n);
        printf("%lld\n", ans.mat[0][1]);
    }
    return 0;
}