Bundle Adjustment 原理推導

原創

2020-02-23 06:55

參考攝影測量學武漢大學出版社金爲銑 2001年4月 P23J1718
光束法平差模型：
在解析攝影測量中，將外方位元素（局外點）和模型點座標（局內點）的計算放在一個整體內進行，此時稱其爲光束法。光束法平差是以共線方程式作爲數學模型，像點的像平面座標觀測值是未知數的非線性函數，經過線性化後按照最小二乘法原理進行計算。該計算也是在提供一個近似解的基礎上，逐次迭代來達到趨近於最佳值的。

共線方程式的表達：
設S爲攝影中心，在世界座標系下的座標爲;M爲空間一點，在世界座標系下的座標爲（X,Y,Z），m是M在影像上的構象，其像平面和像空間輔助座標分別爲（x，y，-f），，此時可知S、m、M三點共線。可得

再根據像平面座標和像空間輔助座標的關係有

由上面兩式可解得共線方程式爲

其中x0、y0、f是影像內方位元素；表示像平面中心座標和攝像機主距。
共線方程式的線性化：
該方程式一次項展開式爲

式中爲共線方程函數近似值，爲外方位元素改正數，爲待定點的座標改正數。
在保證共線條件下有：

此時，根據上面的共線方程式以及旋轉矩陣可得到
誤差方程式的建立：
據此可得到誤差方程式爲

其中有：

將誤差方程式改寫成矩陣形式可爲

也可簡寫成：

在該式中有：
法方程式的建立：
根據平差原理可知其法方程式爲

只需列出誤差方程式，權賦1；
對於控制點，列出誤差方程式，還要列出虛擬誤差方程式，權賦P。
虛擬誤差方程式爲

列出各類點的誤差方程式後，按照最小二乘法原理建立法方程式，即按爲最小建立的法方程式爲

也可簡寫成：

在根據上式進行展開消元可得改化法方程式爲：

或者

根據上面的公式可以求解出外方位元素的改正值；下面的公式可以求解出點的座標改正值。
結果判定：
將改正數和規定的限差相比較，若小於限差則迭代完成，否則用未知數的新值又作爲近似值繼續迭代，直至滿足條件。
由此可知，開始時提供的初始值越接近最佳值，解的收斂速度就愈快；所以通常的處理方法是先進行空間後方交會，求出像片的外方位元素，將其作爲光束法平差時未知數的初始值。