二分法的應用 HihoCoder - 1128 二分查找

描述

Nettle最近在玩《艦これ》，因此Nettle收集了很多很多的船(這裏我們假設Nettle氪了很多金，開了無數個船位)。去除掉重複的船之後，還剩下N(1≤N≤1,000,000)種不同的船。每一艘船有一個稀有值，任意兩艘船的稀有值都不相同，稀有值越小的船越稀有，價值也就越高。
Nettle現在通過大建又造出了一艘船，他想知道這艘船是不是重複的。如果是重複的，那麼這艘船在Nettle所有的船裏面稀有值排多少位。

問題一

Nettle已經先把自己所有船按照稀有值從小到大排列好了(a[1..N])，我們要做的是看看新得到的船(假設稀有值爲K)是否在這個序列中，且有對應的a[i]=K時，i爲多少？

提示一：有序數組的二分查找

有序數組長度爲N，且滿足a[1]&lta[2]<…&lta[N]。
我們隨機從數組中選取一個數a[i]，對於需要查找的數K：

若K&lta[i]，則K的下標一定不大於等於i(也有可能K不存在於數組中)；若K=a[i]，則i就是我們要找的答案；若K&gta[i]，則K的下標一定不小於等於K。

利用上面這個性質，我們可以得到這樣一個算法：
假定K所在的區間爲[L,R]，即a[L]≤K≤a[R]。每次我們從[L,R]中選取一個數Mid，一般情況下選擇Mid=(L+R)/2。

若K&lta[Mid]，則更新區間爲 R=Mid-1若K=a[Mid]，則Mid爲所查詢值若K&gta[Mid]，則更新區間爲 L=Mid+1
在任意時刻出現L>R時判定K不存在於該數組。

這便是最簡單，最基本的二分查找。時間複雜度爲O(logN)

問題二

因爲Nettle的船太多了，他不願意去給所有船按照稀有值排序，而是直接告訴了我們每一艘船的稀有值。在這種情況下我們該如何解決這個問題呢？

提示二：非有序數組的二分查找

數組長度爲N，保證沒有重複的數。
一個簡單有效的方法是對數組進行排序後使用有序數組的二分查找，時間複雜度爲O(NlogN)。

觀察我們第一個算法，對於選定的Mid。如果數組滿足a[L..Mid-1]&lta[Mid]且a[Mid]&lta[Mid+1..R]，即可進行區間的分割，從而使得區間範圍減半。
既然如此，那麼我們可以通過一次遍歷交換將比a[Mid]小的數放到a[Mid]左邊，比a[Mid]大的數放到a[Mid]右邊。(這裏使用了快速排序的思想)
其他部分仍然同有序數組的二分查找相同，但由於每一次都遍歷了整個數組，所以時間複雜度變爲：O(N/2^0+N/2^1+N/2^2+1)=O(2N)

由於第一個問題很簡單，所以我們就拿第二個問題練練手吧。

輸入

第1行：2個整數N,K。N表示數組長度，K表示需要查找的數；
第2行：N個整數，表示a[1..N]，保證不會出現重複的數，1≤a[i]≤2,000,000,000。

輸出

第1行：一個整數t，表示K在數組中是第t小的數，若K不在數組中，輸出-1。

Sample Input

10 5180
2970 663 5480 4192 4949 1 1387 4428 5180 2761

Sample Output

9

代碼：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define MAX_N 1000000
long long a[MAX_N];
int main() {
	
	int n;
	long long k;
	cin >> n >> k;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> a[i];
	}
	sort(a, a + n);
	
	//二分查找
	int low = 0;
	int high = n-1;
	int mid;
	while (high >= low) {
		mid = (low + high) / 2;
		if (k < a[mid]) {
			high = mid - 1;
		}else if(k == a[mid]) {
			cout << mid+1;
			return 0; 
		}
		else
			low = mid + 1;
	}
	cout << -1;

	return 0;
}