聊聊生成函數的鬱悶
最近拿着一本離散數學呆呆地發愣…生成函數四個大字搞得我無限自閉,那麼就來聊聊這天殺的生成函數到底是何方神聖。
生成函數是一種表現序列的有效方法,把序列的項作爲一個形式冪級數中變量x的冪的係數,由此可以解決許多類型的技術問題。
基本概念理解
定義: 實數序列a0,a1……,ak,……的生成函數是無窮級數
G(x)=a0+a1x+……+a6xk+……
這叫做{ak}的普通生成函數。
一些定理
當我們解決計數問題時,我們習慣於把它考慮爲形式冪級數,我們在討論的時候一般不涉及到收斂問題。
定理一 令f(x)= akxk,g(x)= bkxk,那麼,可以知道:
f(x)+g(x)=(ak+bk)xk和f(x)g(x)=(ajbk-j)xk
定理一隻有當冪級數在一個區間收斂時纔有效,但是,生成函數並不侷限於這種級數。當級數不收斂時,我們可以看成是生成函數和與積的定義。
我們來看一個小小的例子來幫助我們理解:
例子: 我們可以知道1/(1-x) = 1+x+x2+x3+……,我們由定理一可以得出:1/(1-x)2=( 1)xk= (k+1)xk。
未完待續…