泊松過程 Possion Process 伯努利過程

Introduction

Introduction to probability 2nd_edition
Ch06

對於隨機過程，我們關注：
1. 相關性
2. long-term averages 均值
3. boundary events

本篇關注兩個類型的隨機過程
1. 到達模型，伯努利和泊松
2. 馬爾可夫模型

The Bernoulli Process

伯努利過程，就像一次接一次地投硬幣。事件發生概率p ，不發生概率1−p ，在伯努利過程中，類似於顧客到達服務檯，第k 次實驗看作，在第k 個時間內，有至少一個顧客到達。

更準確地，定義Beonoulli process是一個隨機變量序列，隨機變量 Xi 滿足
P(Xi=1)=P(successattheithtrial)=p
P(Xi=0)=P(failureattheithtrial)=1−p

相互獨立 無記憶

Independence and Memorylessness 是 伯努利過程的重要性質。

假設隨機變量 Z=(X1+X3)X6X7 如果另一個隨機變量和它沒有公共的元素，那這兩個隨機變量應該是相互獨立的。

無記憶性

Interarrival Times 到達時距

Yk – 第k 次到達的時間。
Tk – k+1次與k次到達的時間間隔

T1=Y1
Tk=Yk−Yk−1

Yk=∑ki=1Ti
由於伯努利的無記憶性，也就是說每一個時間都相當於一個新的開始，同時，由於所以第一次到達前的時間是幾何分佈，因此每個時間間隔都是獨立同分布的幾何分佈。

The kth Arrival Time

在前 t−1 個時間內有 k−1 次，第 t 次也發生。

Splitting and Merging of Bernoulli Process

The Possion Approximation to the Binomial

當 n 很大 p 很小時，近似爲泊松分佈

The Possion Process

P(k,t)=P (k arrivals during an interval of length t )

我們假設每個時間內，這個概率相等。

λ – arrival rate 或者 intensity of the process

泊松過程的定義

1. 第一個定義表示，每個時間間隔是等價的，到達的量是“一樣”的。
2. 第二個表示，到達的數目與歷史無關
3. 小o表示，相比於t 的數量級可以忽略不計

Number of Arrivals in an Interval

將一個固定的時間間隔 t 分爲t/δ 個時間間隔。δ 非常小，大於一次的到達可以忽略。因此每個時間內到達的概率爲 λδ ,類似於伯努利過程

時間t 內到達k 次的概率和n=t/δ 次伯努利成功k 次大致一樣。
當n無窮大時，np趨向於常量，等於λ∗t

也就是說，通過泊松分佈的假設，可知泊松過程相當於伯努利過程。

P(0,t)=1−e−λt

Independence and Memorylessness

Interarrival Times

指數分佈

也就是說
爲了等待第一次成功，伯努利試驗的等待時間服從幾何分佈，而泊松過程則服從指數分佈
爲了等待第r次成功，伯努利試驗的等待時間服從巴斯卡分佈，而泊松過程服從埃爾蘭分佈