動態規劃（4）-------計數類DP

整數劃分

其實小編看到這個題的第一個想法是完全揹包…寫了個二十分鐘還真的A了。大家如果想了解，下面給出代碼。
f[i][j] 表示i個整數恰好拼成j的方案數
把選0個i，1個i，2個i，…全部加起來
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - i] + f[i - 1][j - 2 * i] + …;
f[i][j - i] = f[i - 1][j - i] + f[i - 1][j - 2 * i] + …;
因此轉態轉移方程爲f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - i];優化成一維f[j] = (f[j] + f[j - i]) 。

//二維
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1010;
const int mod=1e9+7;
int f[N][N];
int main()
{
    int n ;     cin >> n ; 
    for(int i = 0 ; i <= n ; i++)
        f[i][0] = 1;

    for(int i = 1 ; i <= n ; i++ )
    {
        for(int j = 0 ; j <= n ; j++ )
        { 
            f[i][j] = f[i-1][j] ;
            if(j >= i )
                f[i][j] = (f[i-1][j] + f[i][j-i])%mod;   
        }
    }
    cout << f[n][n] << endl;

    
    return 0;
}
}

//優化成一維
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
const int mod = 1e9 + 7;

int n;
int f[N];

int main() 
{
    cin >> n;
    f[0] = 1; 
    for (int i = 1; i <= n; i ++) 
        for (int j = i; j <= n; j ++) 
            f[j] = (f[j] + f[j - i]) % mod;

    cout << f[n] << endl;
    return 0;
}

狀態表示：
f[i][j]f[i][j]表示總和爲i，總個數爲j的方案數，所以轉態轉移方程f[i][j]=f[i−1][j−1]+f[i−j][j]，推導方法和上面一樣。

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010；
const int mod = 1e9 + 7;
int n;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    f[1][1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )
            f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j]) % mod;
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
    	res = (res + f[n][i]) % mod;
    cout << res << endl;
    return 0;
}