編程之美3：最大公約數問題

解法一：（輾轉相除法）

假設用f（x, y）表示x，y的最大公約數，取k = x/y，b = x%y，則x = ky + b。如果一個數能夠同時整除x和y，則必能同時整除b和y；而能夠同時整除b和y的數也必能同時整除x和y，即x和y的公約數與b和y的公約數是相同的，其最大公約數也是相同的，則有f（x, y）= f（y, y % x）（y > 0），如此便可把原問題轉化爲求兩個更小數的最大公約數，直到其中一個數爲0，剩下的另外一個數就是兩者最大的公約數。示例如下：

f（42, 30）=f（30, 12）= f（12, 6）=f（6, 0）= 6

代碼如下：

int gcd(int x, int y)
{
    return (!y)?x:gcd(y, x%y);
}

解法二：在解法一中，我們用的了取模運算。但是對於大數而言，取模運算（其中運用到除法）是非常昂貴的開銷，將成爲整個算法的瓶頸，那有沒有辦法能夠不用取模運算呢？ ，如果一個整數能夠同時整除x,y那麼就必須能夠同時整除x-y,y也就是說x和y的最大公約數與x-y,和y的最大公約數是相同的，即f(x,y)=f(x-y,y);那麼就可以不再需要進行大整數的取模運算，而轉換爲簡單得多的大整數的減法,在實際操作中，如果x<y那麼就可以先交換（x,y）因爲（f(x,y)=f(y,x)）,從而避免求一個正數和一個負數的最大公約數情況

例如：f(42,30)=f(12,30)=f(30,12)=f(18,12)=f(6,12)=f(12,6)=f(6,6)=f(6,0)=6;

int gcd2(int x,int y)
{
 if (x<y)
 {
  return gcd2(y,x);
 }
 if (y==0)
 {
  return x;
 }
 else
  return gcd2(x-y,y);
}

這個算法雖然避免了大整數的除法，但是同樣也有瓶頸，迭代次數很多，如果遇到一個（99999999999,3）這類情況，那麼就會迭代很多，效率也不是很高。

 

解法三：

解法一的問題在於計算負責的大整數的除法，解法二的問題在於迭代次數太多，

對於x,y如果x=k*x1,y=k*y1,那麼f(y,x)=k*f(y1,x1）

另外如果x=p*x1,假設p是素數，並且y%p!=0(即y不能被p整除），那麼f(x,y)=f(p*x1,y)=f(x1,y),注意到以上兩點後，我們就可以對這兩點算法進行改進。

最簡單的方法：我們知道2是一個素數

1.若x,y都是偶數，f(x,y)=2*f(x/2,y/2)=2f(x>>1,y>>1)

2.若x爲偶數，y爲奇數，f(x,y)=f(x/2,y)=f(x>>1,y)

3.若x爲奇數，y爲偶數f(x,y)=f(x,y/2)=f(x,y>>1)

4.若x爲奇數，y爲奇數f(x,y)=f(x,x-y),(x-y)之後是一個偶數，下一步一定會有除以2的操作

bool IsEven(int x)//判斷x是否爲偶數 
{
 return x%2==0?true:false;
}
int gcd3(int x,int y)
{
 if (x<y)
  return gcd3(y,x);
 if (y==0)
  return x;
 else
 {
  if (IsEvent(x))
  {
   if (IsEvent(y))
   {
    return (gcd3(x>>1,y>>1)<<1);
   }
   else
   {
    return (gcd3(x>>1,y));
   }
  }
  else
  {
   if (IsEvent(y))
   {
    return (gcd3(x,y>>1));
   }
   else
   {
    return gcd3(y,x-y);
   }
  }
 }
}

 

上面算法的時間複雜度爲0(log2(max(x,y))).