luogu P2155 [SDOI2008]沙拉公主的困惑

背景：

寫一下最近做的題目。

題目傳送門：

https://www.luogu.org/problem/P2155

題意：

求$[1,n!]$內與$m!$互質的數的個數。

思路：

這個轉化還是比較妙的。

考慮$[1,m!]$內與$m!$互質的數的個數，顯然答案爲$\phi(m!)$。

考慮$(m!,n!]$內與$m!$互質的數的個數。
考慮更相減損術：$\gcd(a,b)=\gcd(a+b,b)$，因此想到$\gcd(a,m!)=\gcd(a+m!,m!)=1$，因此相當於將$\phi(m!)$翻$\frac{n!}{m!}$倍。

綜上$ans=\frac{n!}{m!}\phi(m!)$。
怎麼求呢。
$\frac{n!}{m!}\phi(m!)$

$=\frac{n!}{m!}m!\prod_{i=1}^{k}(1-\frac{1}{p_i})$

$=n!\prod_{i=1}^{k}\frac{p_i-1}{p_i}$

這個又怎麼做呢？
$n!$直接預處理即可。
設$f_n=\prod_{i=1}^{k}\frac{p-1}{p}$
後面的考慮我們已經求出了$f_a$，那麼$f_{a*prime}=f_a*\frac{prime-1}{prime}$，由於我們可以預處理逆元，因此可以$\Theta(1)$轉移。
因爲$p_i$的指數必須爲$1$，因此我們可以從小到大來做。

實測$n<r$，不然對於沒有逆元$n=kr,k∈N_+$的，直接做會有問題，詳細處理方法可以見題解。

代碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define R register
using namespace std;
	int n,m,mod;
	int prime[1000010],fac[10000010],f[10000010],inv[10000010];
	bool bz[10000010];
void init(int ma)
{
	int t=0;
	bz[0]=bz[1]=true;
	for(R int i=2;i<=ma;i++)
	{
		if(!bz[i]) prime[++t]=i;
		for(R int j=1;j<=t&&i*prime[j]<=ma;j++)
		{
			bz[i*prime[j]]=true;
			if(!(i%prime[j])) break;
		}
	}
	fac[0]=1;
	for(R int i=1;i<=ma;i++)
		fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;
	inv[0]=inv[1]=1;
	for(R int i=2;i<=min(ma,mod-1);i++)
		inv[i]=((LL)mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	f[1]=1;
	for(R int i=2;i<=ma;i++)
	{
		f[i]=f[i-1];
		if(!bz[i]) f[i]=(LL)f[i]*inv[i]%mod*(i-1)%mod;
	}
}
int main()
{
	int T;
	scanf("%d %d",&T,&mod);
	init(10000000);
	while(T--)
	{
		scanf("%d %d",&n,&m);
		printf("%d\n",(LL)fac[n]*f[m]%mod);
	}
}