每一個比1大的整數N只能有一種方式分解成素數的乘積。
用反證法：
假設存在 兩種不同的分解方法：
這裏選擇m是最小的可以有不同分法的整數。
m = p1*p2....*pr = q1*q2...*qs,
這裏的p,q 都是素數。
可以認爲：p1<=p2<=...<=pr. q1<=q2<=....qs.
p1 != q1 因爲如果p1 = p2,那麼兩端消去因子後，出現比m小的整數可以分解成兩種情況。這於假設矛盾。
因此我們假設p1 < q1 (或者 q1 < p1)這兩者都行，我們假設 p1 < q1 .
我們構造另一個整數m' = m - p1q2....qs.
m' = (p1p2...pr) - (p1q2...qs)
= p1(p2p3...pr - q2q3...qs),
和
m' = (q1q2...qs) - (p2q2...ps)
= (q1-p1)q2q3....qs.
由於p1 < q1,從（4）知m'是個正整數。而又從（2）知m'是小於m的。
因此m'的素數分解，除了因子次序外，必須是唯一的。（因爲它比m小）
但是從（3）知p1是m'的因子，因此（4）知p1必須是（q1-p1)或者（q2q3...qs)的因子。由於所有的q都比p1大，所以後面的情況是不可能的。
因此p1 必須是q1 - p1的因子。這樣就有某個整數h 使
q1 - p1 = p1*h 或 q1 = p1(h+1)
這表明p1是q1的一個因子，這與q1是素數矛盾。
因此假設不成立。得證！
《什麼是數學》