整理与随笔——抽象代数 第一章 群 1.1-1.2 代数体系、半群与群

教程：抽象代数（邓少强）
名词太多，这里以框架的形式整理，把必要的定义和定理进行简易解释。
抽象代数的历史来源：
一元五次及以上的方程是否有根式解？欧拉，拉格朗日，高斯，阿贝尔
如何找出一类特殊方程可用根式解？伽罗瓦——Galois理论 （这里必须要表达我对Galois的敬佩！）

1.1 代数体系

代数体系就是集合+运算

• 集合

1.1.1 运算

• 映射
  $i: A_0 \rightarrow A$
  称$i$为$A_0$到$A$的嵌入映射。
  若$i(x) = x$，则称$i$为$A_0$到$A$的嵌入映射
• 交换图：例如$f_3 f_2 f_1$=$g_2 g_1$，则有交换图
  
• 开拓、限制：$f$为$g$的开拓，$g$为$f$（在$A_0$上）的限制，记为$g=f|_{A_0}$，可用交换图表示为
  
  其中$i$是嵌入映射。
• 直积（集合）
• （二元）运算
  映射$f: A \times B \rightarrow D$称为$A$与$B$到$D$的一个代数运算。如果$A$,$B$,$D$都相同，则$f$是$A$上的二元运算。
  例：设$\mathbb{V}$为线性空间，数域为$\mathbb{P}$，
  $\mathbb{V}$中加法：$\mathbb{V} \times \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{V}$.
  $\mathbb{V}$中乘法：$\mathbb{P} \times \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{V}$.

研究抽象代数很重要的就是研究运算规律

• 运算规律

  • 交换律：不常见
  • 结合律：常见
  • 分配律：左分配律，右分配律，分配律涉及两种运算。环中常见

• 运算表：可以读出交换律

1.1.2 关系

• （二元）关系：设$A \neq \emptyset$，$A$中一个关系为$A \times A$中的一个子集$R$。构造新集合的方法，例如“$>$”，“$<$”，“$=$”

  • 自反性
  • 对称性
  • 传递性

• 等价关系：满足上述三条性质的关系。例如矩阵的相似、合同等

  • 划分：$A$的一个划分就是将$A$写成一些不相交的非空子集之并
  • 等价类：记作$\bar{a}$或$[a]$
  • 商集合：$A/R=\{\bar{a}|a \in A\}$
  • 自然映射：映射$\pi : A \rightarrow A/R$，$\pi(a) = \bar{a}$

• 定理1.1.1
  $A$中的一个分类决定了$A$中的一个等价关系，反之也成立
  关系和分类可以看作一回事

• 同余关系
  二元运算“$\circ$”，等价关系$R$，如果
  $a_1 R b_1, a_2Rb_2 \Rightarrow a_1 \circ a_2 R b_1 \circ b_2$
  则称$R$为“$\circ$”的同余关系
  在$A/R$中定义
  $\bar{a} \bar{\circ} \bar{b} = \overline{a\circ b}$
  注意这种定义是正确的。如果$c \in \bar{a}$，$d \in \bar{b}$，同余关系保证$\overline{a\circ b}= \overline{c\circ d}$

• 代数体系：集合$A$，等价关系$R$为“$\circ$”的同余关系，
  $\{A; \circ \}$是代数体系，可以导出另一个代数体系$\{A/R; \bar{\circ} \}$

1.2 半群与群

1.2.1 半群与群

群=非空集合+二元运算+性质

• 半群：设$G$为一个非空集合，$G$上有二元运算$\circ$，满足结合律，则称$\{G;\circ\}$（或$G$）为一个半群

• 幺元，幺半群：设$\{G; \circ\}$为半群，若元素$e_1 \in G$，满足$\forall a \in G, e_1 a = a$，则称$e_1$为$G$的左幺元；右幺元类似。若$e$即是左幺元，又是右幺元，那么称之为幺元。$G$称为幺半群

• 逆元，群：设$\{G; \circ\}$为幺半群，$e$为幺元，$a \in G$，若元素$a'$ 满足 $a'\circ a=e$，则称$a'$为$a$的左逆元；右逆元类似；若$b$即是$a$的左逆元，又是$a$的右逆元，则称$b$为$a$的一个逆元，记为$a^{-1}$. 若幺半群$G$中每个元素都可逆，称$G$为群
  从集合观点来看：$G \neq \emptyset$，定义了二元运算$\circ$

  1. $G$对$\circ$封闭
  2. $\circ$满足结合律
  3. $G$存在幺元$e$
  4. $\forall a\in G$，存在逆元

  群的定义非常多（某教科书17种？ ）

• Abel群：交换的群
  例如任意一个数域$\mathbb{P}$对数的加法为Abel群；$\mathbb{P} \ \{0\}$对乘法为Abel群

• 定理1.2.1
  幺半群的幺元唯一
  证明思路：$e=ee'=e$

• 定理1.2.2
  群的逆元唯一
  证明思路：$bab'=eb'=b'=be=b$

• 定理1.2.3
  群满足左右消去律。左消去律若$ab=ac$，则$b=c$，右消去律类似

• 定理1.2.4
  设$G$为群，则$\forall a,b\in G$，方程$ax=b,xa=b$都存在唯一解

• 定理1.2.5
  设$G$为半群，若$\forall a,b \in G$，方程$ax=b, xa=b$都有解，则$G$为群
  该定理也是群的一种定义

• 定理1.2.6
  有限半群$G$若满足左右消去律，则$G$为群
  无限的不行，例如：自然数（注意抽象代数中的自然数集合不含0）对乘法

• 乘法群，加法群：乘法群把群的运算用乘法（包括幂次）表示；加法群把群的运算用加法（包括数乘，负号）表示，加法群常用于交换群

1.2.2 阶

• 阶：设$G$为群，$G$的阶表示$G$中元素的个数，记为$|G|$

• 设$G$为群，$a \in G$，若对$\forall n \in \mathbb{N}, a^n \neq e$，称$a$的阶为无穷，若至少存在一个$m \in \mathbb{N}$，使$a^m=e$，定义$a$的阶为$min \{k \in \mathbb{N}|a^k=e\}$

• 定理1.2.7
  设$G$为群，$a \in G$，$a$的阶为无穷 $\Leftrightarrow$ $\forall m,n \in \mathbb{Z}, m\neq n$ 则 $a^m \neq a^n$

• 定理1.2.8
  设$G$为群，$a\in G$，$a$的阶为$d$，则

  1. $a^k=e \Leftrightarrow d|k$
  2. $a^k=a^h \Leftrightarrow d|h-k$

• 定理1.2.9
  设$G$为群，$a \in G$，$a$的阶为$d$，则

  1. $a^k$的阶为$d/(d,k), \quad (k>0)$
  2. $a^k$的阶为$d$ $\Leftrightarrow$ $(d,k)=1$

  证：只需证命题1，
  设$a^k$的阶为$q$，设$d=d_1(d,k),\quad k=k_1(d,k)$，
  一方面：$(a^k)^q=e=a^{qk}$. 故由定理1.2.8，$d|qk$，即$d_1 | k_1q$，因$(d_1,k_1)=1$，仅$d_1|q$，故$d/(d,k)|q$.
  另一方面：$(a^k)^{d_1}=a^{k_1(d,k)d_1}=(a^{d})^{k_1}=e$，故由定理1.2.8， $q|d_1=d/(d,k)$. 故$q = d/(d,k)$.

• 定理1.2.10
  设$G$为群，$a,b \in G$，$a$的阶为$m$，$b$的阶为$n$，且$ab=ba,(m,n)=1$，则$ab$的阶为$mn$
  注意，如果不要$ab=ba$这个条件，那么$ab$的阶不一定是有限的。（另外注意有限群的元素一定是有限阶的，这个也容易证）