區間dp練習題

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題目描述

阿偉死了 qwq (終於死了) ，因爲這個他玩的遊戲實在是太難了，他通宵幾天都沒能過關，最後猝死在電腦前，但是他臨走前，給了一個任務，希望你能幫他通過這個遊戲，爲了阿偉能瞑目，你現在要開始繼續玩這個遊戲。

這個遊戲是這樣的，你有 n 個矩陣排成一個圈，假設第 i 個矩陣的行和列分別爲 a 和 b，那麼第 i+1 個矩陣的行和列 分別爲 b 和 c ，第 i-1 個矩陣的行和列分別爲 d 和 a ，意思是 相鄰兩個矩陣一定能進行一次矩陣乘法，下面成爲合併操作。

現在你要將矩陣進行合併操作，假設相鄰兩個矩陣的行和列分別爲 (p,q) ,(q,r) ，那他們進行一次合併操作，變成了一個 (p,r)的矩陣，這時候會產生一些金幣，金幣的數量爲 p * q * r 。

現在你需要進行多次上述的合併矩陣的操作，使得矩陣只剩下一個，爲了能夠通關遊戲，你還要保證你得到的金幣是最大的，最後輸出你得到的最大金幣數量。

思路：

經典最優子結構問題，和切木條很像，但是有一點不同就是這是一個環，所以他應該有n種情況的區間dp：

1,2,.....n的最優，2,3,4,....,n,1的最優，.....

所以我們在數組後面再擴充一倍，這是解決環問題的經典方法。

dp[i][j]表示將區間i,j合併爲1個矩陣的最小花費，答案就是在n個長度爲n的區間內取最大值（對應的就是將環拆成鏈的n種情況）

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int maxn=200+20;
int dp[maxn][maxn];
struct Node{
    int p,q;
}node[maxn];
int dfs(int l,int r){
    int &ans=dp[l][r];
    if(ans!=-1)return ans;
    ans=0;
    for(int k=l;k<r;k++){
        ans=max(ans,dfs(l,k)+dfs(k+1,r)+node[l].p*node[k+1].p*node[r].q);
    }
    return ans;
}
signed main(){
    int n;
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld%lld",&node[i].p,&node[i].q);
        node[i+n].p=node[i].p,node[i+n].q=node[i].q;
    }
    for(int i=0;i<=2*n;i++){
        for(int j=0;j<=2*n;j++){
            dp[i][j]=-1;
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans=max(ans,dfs(i,i+n-1));
    }
    printf("%lld\n",ans);
}