[數學]矩陣的問答

[數學]矩陣的問答

Author: Xin Pan

Date: 2020.02.03

Update: 2020.02.11

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記錄自己使用但是一直記不住的矩陣和向量運算知識，爲了更好的更新和閱讀，作者想用QA的方式進行。

本文目錄如下

Q1：矩陣左乘和右乘的區別？

A：假設有
$A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{array}\right) B=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\1&0&0\\0&0&1\end{array}\right) C=\left(\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&0&2\\0&2&0\end{array}\right) VA=\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)$
對A左乘矩陣B是對A進行行變換；

對A右乘矩陣C是對A進行列變換。

如果對一個列向量VA左乘矩陣B則是對VA進行線性變換得到新的列向量；

若是對一個列向量VA右乘矩陣B則得到新的矩陣。

請問BA=？
$BA=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&0&1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc} 7&8&9\\ 1&2&3\\ 7&8&9 \end{array}\right)$
針對A，B的第i行的第j個數將會和A的第j行乘在一起作爲結果BA的第i行。

請問AC=？
$AC=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 2&0&0\\ 0&0&2\\ 0&2&0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2&6&4\\8&12&10\\14&18&16\end{array}\right)$
針對A，C的第i列的第j個數將會和A的第j列乘在一起作爲結果BA的第i列。

Q2：矩陣乘法和加法的轉置

A：(AB)^T=B^TA^T

​ (A+B)^T=A^T+B^T

Q3：標量、向量、矩陣和張量

A:

從這個圖裏我們看出標量是一個數可以認爲是0維，向量是1維的而且它包含了順序[2 1]和[1 2]是不同的。矩陣是向量組成的屬於2維，張量就是矩陣的擴展，像漢堡一樣，漢堡頂和漢堡底以及肉都是一個矩陣，漢堡整體就是3維的。張量=變厚的矩陣。

Q4：線性代數相比於高中數學和大學數學的區別

我的答案：高中的數學包含代數和幾何兩個部分，我記得大學線性代數課程會將增廣矩陣解方程組，一開始很疑惑爲什麼這麼麻煩。後來自己想到一些解釋。當下的生活中我們很多的工作交給計算機來處理，那麼我們交給計算機處理工作時需要符合計算機的要求。電腦可以處理由行列組成的2維和更高維數據，但是高中數學相比於生活中的問題又太簡單，大學數學使用的方法不容易由計算機處理，這個時候線性代數就是計算機做數學這麼個定位。線性代數可以將數學應用於現實生活中，將未知數和已知參數換了個名字叫做向量（Vector）和矩陣（Matrix），矩陣來自於生活但又是高維的表達，人處理不了了，交給電腦最好，線性代數就是這麼一門應用於現實的計算機數學。

Q5：廣播（broadcast）

A：如將一個標量a乘以矩陣B，就是將a乘進B中的每個數字，得到結果。這就像我們聽廣播，一排人聽到廣播裏的信息都是一樣的。廣播就是矩陣和標量或者向量和標量乘法的簡稱。

Q6：矩陣與向量相乘的含義

A：矩陣就是映射，矩陣乘以向量得到新的向量，等於把舊的向量映射爲新的向量。

Q7：對角矩陣

A：只有對角線的元素非0，其他位置都是0的矩陣，形如：

Q8：對稱矩陣的性質

A：對稱矩陣（Symmetric Matrices）是指以主對角線爲對稱軸，各元素對應相等的矩陣。對稱矩陣A=A^T。

Q9：逆矩陣存在的條件

A：存在條件：

1. 是方陣；

2. 列向量之間沒有相關性。

逆矩陣A存在如下性質AA^-1=I

I（大寫i）爲單位矩陣。

Reference

矩陣左乘和右乘筆記