[数学]矩阵的问答

[数学]矩阵的问答

Author: Xin Pan

Date: 2020.02.03

Update: 2020.02.11

---

记录自己使用但是一直记不住的矩阵和向量运算知识，为了更好的更新和阅读，作者想用QA的方式进行。

本文目录如下

Q1：矩阵左乘和右乘的区别？

A：假设有
$A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{array}\right) B=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\1&0&0\\0&0&1\end{array}\right) C=\left(\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&0&2\\0&2&0\end{array}\right) VA=\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)$
对A左乘矩阵B是对A进行行变换；

对A右乘矩阵C是对A进行列变换。

如果对一个列向量VA左乘矩阵B则是对VA进行线性变换得到新的列向量；

若是对一个列向量VA右乘矩阵B则得到新的矩阵。

请问BA=？
$BA=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&0&1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc} 7&8&9\\ 1&2&3\\ 7&8&9 \end{array}\right)$
针对A，B的第i行的第j个数将会和A的第j行乘在一起作为结果BA的第i行。

请问AC=？
$AC=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 2&0&0\\ 0&0&2\\ 0&2&0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2&6&4\\8&12&10\\14&18&16\end{array}\right)$
针对A，C的第i列的第j个数将会和A的第j列乘在一起作为结果BA的第i列。

Q2：矩阵乘法和加法的转置

A：(AB)^T=B^TA^T

​ (A+B)^T=A^T+B^T

Q3：标量、向量、矩阵和张量

A:

从这个图里我们看出标量是一个数可以认为是0维，向量是1维的而且它包含了顺序[2 1]和[1 2]是不同的。矩阵是向量组成的属于2维，张量就是矩阵的扩展，像汉堡一样，汉堡顶和汉堡底以及肉都是一个矩阵，汉堡整体就是3维的。张量=变厚的矩阵。

Q4：线性代数相比于高中数学和大学数学的区别

我的答案：高中的数学包含代数和几何两个部分，我记得大学线性代数课程会将增广矩阵解方程组，一开始很疑惑为什么这么麻烦。后来自己想到一些解释。当下的生活中我们很多的工作交给计算机来处理，那么我们交给计算机处理工作时需要符合计算机的要求。电脑可以处理由行列组成的2维和更高维数据，但是高中数学相比于生活中的问题又太简单，大学数学使用的方法不容易由计算机处理，这个时候线性代数就是计算机做数学这么个定位。线性代数可以将数学应用于现实生活中，将未知数和已知参数换了个名字叫做向量（Vector）和矩阵（Matrix），矩阵来自于生活但又是高维的表达，人处理不了了，交给电脑最好，线性代数就是这么一门应用于现实的计算机数学。

Q5：广播（broadcast）

A：如将一个标量a乘以矩阵B，就是将a乘进B中的每个数字，得到结果。这就像我们听广播，一排人听到广播里的信息都是一样的。广播就是矩阵和标量或者向量和标量乘法的简称。

Q6：矩阵与向量相乘的含义

A：矩阵就是映射，矩阵乘以向量得到新的向量，等于把旧的向量映射为新的向量。

Q7：对角矩阵

A：只有对角线的元素非0，其他位置都是0的矩阵，形如：

Q8：对称矩阵的性质

A：对称矩阵（Symmetric Matrices）是指以主对角线为对称轴，各元素对应相等的矩阵。对称矩阵A=A^T。

Q9：逆矩阵存在的条件

A：存在条件：

1. 是方阵；

2. 列向量之间没有相关性。

逆矩阵A存在如下性质AA^-1=I

I（大写i）为单位矩阵。

Reference

矩阵左乘和右乘笔记