最長公共子序列【線性DP】

題目鏈接：897. 最長公共子序列

給定兩個長度分別爲N和M的字符串A和B，求既是A的子序列又是B的子序列的字符串長度最長是多少。

輸入格式
第一行包含兩個整數N和M。

第二行包含一個長度爲N的字符串，表示字符串A。

第三行包含一個長度爲M的字符串，表示字符串B。

字符串均由小寫字母構成。

輸出格式
輸出一個整數，表示最大長度。

數據範圍
1≤N≤1000

輸入樣例：
4 5
acbd
abedc

輸出樣例：
3

程序說明：

dp[i][j]表示第一個序列的前 i 個字母和第二個序列的前 j 個字母所對應的公共子序列長度，雖然可以分成四部分即 dp[i - 1][j - 1] dp[i - 1][j] dp[i][j - 1] dp[i - 1][j - 1] + 1 但是中間兩種情況已經包含了第一種情況，第一種情況不會取到最大。因此有遞推式：

$dp[i][j]= \begin{cases} max(dp[i - 1][j - 1] + 1, dp[i][j])& \text{a[i] = b[j]}\\ max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])& \text{其他} \end{cases}$

代碼如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

char a[N], b[N];
int dp[N][N], n, m;
int main() {
	cin>>n>>m>>a + 1>>b + 1;
	
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++) {
			dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
			if(a[i] == b[j]) dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1] + 1, dp[i][j]);
		}
		
	cout<<dp[n][m]<<endl;
	return 0;
}